滑車の問題

図のように　半径ｒ　質量ｍの円板状の固定滑車と動滑車で質量Mの重りを吊るしています。
ロープの質量、ロープの伸び縮みは無視し、滑車とロープ間の滑りはないとするとき
質量Mの重りの加速度の求め方を教えてください。

No.2 回答者： Taqumi 回答日時： 2013/02/17 19:48

この手の問題は運動方程式を立式するだけで解くことができますよ。

まぁ注意点が一つだけありますが。
まず動滑車、定滑車、重りの三つで運動方程式や力の関係式をたてます。

・重りに関しては、糸の張力をT、加速度をaとでもすると運動方程式は
　Mg-T=Ma

・定滑車は固定されているので加速度はゼロ。つまり加わっている力がつり合っているので
　2T=F

・動滑車の場合、加速度が-a/2となるのは分かりますか？　動滑車の性質や状況をイメージすると分かりやすいかも。運動方程式は
mg-2T=m(-a/2)
　
あとは上の３つを使って頑張って張力Tを消去してa=...の形に変形していきます。
Fを使うとしたら　a=g-F/2M　ですが、Fの代わりにｍを使うとしたら　a=(4M-2m)g/(4M+m)　となり、これを答えとしてよいでしょう。
また、ここで加速度aを消去すると　T=3Mmg/(4M+m)　ともできます。張力の具体的な値だってモチロン分かりますよ。

さて最初に言った注意点ですが、何かと言うと糸の張力をmg/2としてしまわないことです。
だって　T=mg/2　だったら動滑車は力がつりあって静止してるはずですよ？
実際に動滑車の運動方程式　mg-2T=m(-a/2)　に　a=0　を代入すると　T=mg/2　が得られます。
あと糸の張力は糸が繋がっている限りどこでも同じ値になります。これの説明は・・・う～ん、これはパス（笑）。
まぁ慣れないうちは糸の張力というのが想像しにくいかと思いますが、これはもう慣れるしかないです。
俺だって最初はあまり理解できなかったし。


因みに以下余談となりますが、この重りは必ずしも下降するとは限りません。mとMの値によっては逆に上昇することだってありえます。
詳しく考えてみます。さっきの答えの　a=(4M-2m)g/(4M+m)　をよく見てください。
この内の　g/(4M+m)　の部分の値はMとmがどんな値をとろうが必ず正です（もちろんmもMも正という条件つきですよ笑）。でも　4M-2m　の部分はどうでしょう？　これは必ずしも正ではなさそうです。　

4M-2m>0　つまり　m<2M　のときは　a>0　です。要は重りが下降してるということです。
4M-2m<0　つまり　m>2M　のときは　a<0　です。この時は重りは逆に上昇してますね。
4M-2m=0　つまり　m=2M　のときは　a=0　です。この場合、外からつつくとかしない限り動滑車も重りも静止したままです。

あと　a=(4M-2m)g/(4M+m)　に　m=O　を代入すると　a=g　となってしまいます。重りがフツーに自然落下してるってことです（笑）。
同様に　M=0　を代入すると　a=-2g　で、これをちょっといじると　-a/2=g　となりますね。今度は動滑車の方が自然落下してるということです。
まぁイメージしてみれば当たり前っちゃ当たり前なんですけど、こういうようなことが直観的にではなく論理的にも説明ができるということです。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2013/02/12 12:23

固定滑車の左側のロープにかかる張力はmg/2,右側のロープにかかる張力はMg,質量Mの重りの下向き加速度をαとすると

　(M-(m/2))g=Mα
が成り立つ。
この式から
　α={1-(m/(2M))}g
変形して
= (2M-m)g/(2M)
とも表せます。