No.2
- 回答日時:
そのままやれば ok.
計算して出てくる sin(πu+π) と sin(πu-π) は、
sin の基本公式を使って sin(πu) で表してやればいい。
= (-2i) ∫[0→π] (-1/2){ cos((u+1)x) - cos((u-1)x) } dx
= i ∫[0→π] { cos((u+1)x) - cos((u-1)x) } dx
= i [ (1/(u+1))sin((u+1)x) - (1/(u-1))sin((u-1)x) ]_(x=0→π)
= i { (1/(u+1))sin((u+1)π) - (1/(u-1))sin((u-1)π) }
= i { (1/(u+1))(-sin(πu)) - (1/(u-1))(-sin(πu)) }
= i sin(πu) { -1/(u+1) + 1/(u-1) }
= i sin(πu) 2/(u^2-1)
「フーリエ正弦変換」というのが、単に奇関数のフーリエ変換を指すのか、
その虚部だけを指すのかによって、係数 i が掛かるかどうかは違ってくると思うが、
その辺の用語は、文脈により揺らぎがあるから、教科書または講義に準ずる他ない。
この回答へのお礼
お礼日時:2013/02/17 09:22
ご回答ありがとうございます。
教科書だと-iを除いたものを「フーリエ正弦変換」というと
書かれていますが、教科書の問題では-2iを掛けて計算しているので
フーリエ変換せよと言われたら(正弦変換を用いる場合は)-2iを掛けて計算するようにしています。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>-2i∫(0→π) (sin x)(sin ux) dx
ここまま計算するとiが残るので答えのようにはなりません.フーリエ正弦/余弦変換は本によって定義がまちまちです.しかし,質問者様の疑問は三角関数計算にあるようなので係数の部分はさておき
∫(0→π) (sin x)(sin ux) dx
の部分だけ計算しましょう.
∫(0→π)(-1/2)(cos(1+u)x-cos(1-u)x)dx
=(-1/2)∫(0→π){cos{(1+u)x}-cos{(1-u)x}}dx
=(-1/2)[sin{(1+u)x}/(1+u)-sin{(1-u)x}/(1-u)](0→π)
=(-1/2){sin{(1+u)π}/(1+u)-sin{(1-u)π}/(1-u)}
ここで公式sin(θ+π)=-sinθ,sin(π-θ)=-sinθより
sin{(1+u)π}=sin(π+πu)=-sin(πu)
sin{(1-u)π}=sin(π-πu)=sin(πu)
ですから
(-1/2){-sin(πu)/(1+u)+sin(πu)/(1-u)}
=(1/2)sin(πu){1/(1+u)+1/(1-u)}
=sin(πu)/(1-u^2)(☆)
ついでに普通のフーリエ変換がどうなるかやっておきましょう.sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)ですから
∫(-π→π)e^{-iux}sin(x)dx
=(-i/2)∫(-π→π){e^{i(1-u)x}-e^{-i(1+u)x}}dx
=(-i/2)[e^{i(1-u)x}/{i(1-u)}-e^{-i(1+u)x}/{-i(1+u)}](-π→π)
=(-1/2)[{e^{i(1-u)π}-e^{-i(1-u)π}}/(1-u)+{e^{-i(1+u)π}-e^{i(1+u)π}}/(1+u)]
=(-1/2)[{-e^{-iuπ}+e^{iuπ}}/(1-u)+{-e^{-iuπ}+e^{iuπ}}/(1+u)]←e^{±iπ}=-1
=(-1/2)[2isin(πu)/(1-u)+2isin(πu)/(1+u)]=-2isin(πu)/(1-u^2)
この結果は☆の-2i倍です.つまりこれが質問者様の計算を進めていくと得られる結果です.ということは答えには-iがぬけているのではないでしょうか.
※数学的厳密性にうるさい人は上の計算はu≠±1とする必要があると仰ると思います.しかし,結果をu=±1でべき級数展開すればわかるようにこれはいわゆる「除きうる特異点」です.結果のu=±1での値はu→±1の極限と解釈すればよいでしょう.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 工学 周波数fで表現したフーリエ変換の対称性に関する質問です。 1 2022/09/14 12:27
- 数学 回答者どもがなかなか答えられないようなので、考えてみました。 ∫[0,π/2]log(sinx)/( 4 2022/08/31 16:30
- 物理学 フーリエ変換の振幅について 1 2022/09/04 08:56
- 数学 複素関数で分からない問題があります。 ∫[0->π]1/(1+sin^2x)dx という積分を考える 5 2022/12/24 22:14
- 数学 座標変換について 1 2022/08/04 16:42
- 数学 高校生です。 この問題の解説がなくてこの解き方で合っているでしょうか? g(x,y)=0のとき x^ 2 2023/01/25 17:28
- 数学 高校生です。 この問題が解説がないため合ってるか分かりません。 この回答であってますか? 回答 g( 3 2023/01/24 14:05
- 数学 数学の問題です。回答よろしくお願いします。 sinが無限に続く関数f(X)=sin(sin(sin( 3 2022/09/21 10:40
- 数学 単振り子とルンゲ・タック法 1 2022/07/15 00:05
- 数学 次の関数を微分せよ y=sin^4 x cos^4 x という問題で自分は積の微分法で微分して y' 3 2023/05/17 20:38
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
sinωTをTで積分。
-
eの積分について
-
sin²θとsinθ²と(sinθ)²って全部...
-
sinのマイナス1乗の計算方法を...
-
半区間展開について
-
底辺と角度から、高さを求める。
-
2つの円の一部が重なった図
-
極限の問題
-
どんな整数であってもsin(nπ)=0...
-
数IIIの極限
-
大学数学の極限の問題について ...
-
数学 sin1/2は何を表しているの...
-
y=sin^( -1) x の(-1)って...
-
sin2θ=2/15の解を教えて欲しい...
-
連続性の証明課題が不合格にな...
-
簡単な偏微分についての質問です。
-
三角関数で1゜の値の求め方
-
∫[0→π/2]cos^2xsinxdxの途中計...
-
3次元の回転角度の求め方につい...
-
sin1の1って一体・・・
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
sin²θとsinθ²と(sinθ)²って全部...
-
底辺と角度から、高さを求める。
-
sinのマイナス1乗の計算方法を...
-
積分 ∫√(4-x^2)dxについて
-
2つの円の一部が重なった図
-
sinωTをTで積分。
-
数学I 1列目が問題です。 2列目...
-
sin1の1って一体・・・
-
周期の最小値?
-
数学 sin1/2は何を表しているの...
-
e^(-x)*|sinx| これを積分する...
-
(sinθ)^2とsin^2θの違い
-
大学受験時のsin,log,lim,xの表記
-
三角関数の答えが1以上になるの...
-
これsin75°を求めよで答え √6+...
-
なぜ2sinθ=1になるんですか?
-
sinx=cosxの解き方。
-
『inv』って
-
『楕円球体の三重積分を極座標...
-
極限の問題
おすすめ情報