ちょっと変わったマニアな作品が集結

畳み込み積分

     f * g = ∫[0,t] f(τ) g(t-τ) dτ

のラプラス変換が式

     L[f * g] = L[f(t)]L[g(t)]

の性質を満たすことを示そう。

L[f * g] = ∫[0,∞] (f * g) e^(-st) dt
     = ∫[0,∞] {∫[0,t] f(τ) g(t-τ) dτ} e^(-st) dt     ←ここから
     = ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(t-τ) e^(-st) dt } dτ
     = ∫[0,∞] f(τ) {∫[0,∞] g(u) e^{-s(u+τ)} du } dτ   ←ここまで

     : (これ以降は理解できました)

     = L[f(t)]L[g(t)]

・・・という例が本に載っています。
途中をどうやって計算しているのかが分かりません。

自分で考えてみますと、
     = ∫[0,∞] {∫[0,t] f(τ) g(t-τ) dτ} e^(-st) dt
     = ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(t-τ) e^(-st) dt } dτ
の間は、内側と外側の積分を交換したみたいですね。
ただ、その際に
     ∫[0,t]が外側に行って∫[0,∞]
     ∫[0,∞] が内側に行って{∫[τ,∞]
に変換されています。ここがまず分かりません。

次に
     = ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(t-τ) e^(-st) dt } dτ
     = ∫[0,∞] f(τ) {∫[0,∞] g(u) e^{-s(u+τ)} du } dτ
の間は
     u = t-τ
と置いて、
     t = u+τ
とも置いているようです。
でも、それらを適用しただけだと
     = ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(u) e^{-s(u+τ)} du } dτ
と、∫[τ,∞]の開始点はτのままになってしまいますよね?
なぜ、0になってしまったのでしょうか?

多変数の微積分のところで二つの積分を重積分にするのをやりましたが、すっかり忘れました。
復習の意味も込めて教えてください。お願いします。

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A 回答 (3件)

あ~, うん, 「補足」を読んだ時点で「ひょっとして何か勘違いしてないだろうか」とちょっと思ったのよ....



「補足」に「本当は変換後の変数があるはずなのですが」とあるよね. でも, ここは単純に積分の順序を入れ替えてるだけで, 変数変換は全く関係ないよ. ついでにいうと「お礼」の方の「縦軸はその45度に沿って増えていく感じ」ってのもよくわからん.

どっちがどっちでもいいんだけど, 例えば t を横軸, τ を縦軸としてみようか. すると, 上の逐次積分は「t を固定して τ で積分」→「t で積分」だから「t が一定のライン」でまず (τ に対して) 積分するんだよね. これで積分領域が図示できるはず. 一方下は「τ を固定して t で積分」→「τ で積分」だから, 今度は「τ が一定のライン」で (t に関して) 積分してる. 同じ積分領域だと, t はどの範囲を動きますか?

この回答への補足

もうちょっとネットで調べてみます。しばらくお待ち下さい。

補足日時:2013/02/24 18:50
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この回答へのお礼

ヤコビ行列式が1になるだけで変数変換はあるんじゃないですか? u = t-τとして、vの方はv = τなので変数τは別にそのままでも使えた、という意味でした。
図示するとやっぱり積分領域は45度の二等辺直角三角形になりますよね?
正直、今回の回答は分かる人が分かる人に教える説明で、私にはよく分かりませんでした。結局、自分で重積分のところと線形代数の点の移動まで遡って復習しました(調べ上げた今なら分かりますが)。ただ、ベストアンサーは差し上げます。
ありがとうございました。

お礼日時:2013/03/03 14:14

すみません, 見直したらこっちも誤解してる感じがしたのでちょっとだけ補足.



「変換後の変数があるはず」の「変換」がラプラス変換のことだとしたら, それは (この積分においては) 定数扱いなので無視していいです. #2 の「変数変換は全く関係ないよ」は置換積分のことだと思って書いていたので, あなたの意志とはちょっとずれたかもしれない.

ただ, やっぱり #1 への「お礼」にある「縦軸」とか「横軸」の意味が分からないんだな~.
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上は積分領域を図示すればわかるはず.



下はむしろなぜ「開始点はτのままになってしまいますよね」と思ったのかがわからん. t が τ から ∞ まで動くんだから, u=t-τ が 0 からはじまるのは当然では?

この回答への補足

ありがとうございます。
なるほど、上側は(検索した結果)積分領域が45度の二等辺直角三角形になるのは分かっています。今回は、τの1つだけ使われてますが、本当は変換後の変数があるはずなのですが、結局、τと同じなので使われていないことも分かっています。

下側はその当然の部分をもう一度考えてみます。
あとで返事します。

補足日時:2013/02/18 06:49
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この回答へのお礼

すみません、上は積分領域を図示してもやっぱり分かりません・・・。横軸は最初と同じように増えていくとして、縦軸はその45度に沿って増えていく感じですよね?内側と外側を交換したことと何か関係があるのでしょうか?
昔の教科書見たら自分の書き込みがあるんですけど、意味分からず・・・今の自分より賢いようです・・・。

下のは、「t が τ から ∞ まで動く」、つまりtとτは最初は同じ点にあってそれから動くってことですよね?だからt-τは0になるってことですね。これは分かってるんだと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2013/02/19 01:24

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Q『たたみこみ』の逆ラプラス変換

”たたみこみ”で逆ラプラス変換の問題を解くものなのですが、
いまいち”たたみこみ”の活用法がわかりません。

 S^2/{(S^2+4)^2}

という問題で、これを部分分数分解して逆ラプラス変換すると、

 (1/2)t・cos2t+(1/4)t・sin2t

となる筈(苦)なのですが。
どうも問題を”たたみこみ”で解くことが出来ないのです。
 L[cos2t]=S/(S^2+4)
という関係式を使うのか、と感じてはいるのですが、そこで止まってしまいます。

”たたみこみ”について熟知(?)していらっしゃる方々、御回答お願いします。

Aベストアンサー

失礼しました。もっと簡単に出来ました。
L^(-1)[S/(S^2+4)]=cos2t
を使って
L^(-1)[S^2/{(S^2+4)^2}]
=L^(-1)[(s/(S^2+4))*(s/(S^2+4))]
=∫0からtまでcos2(t-u)*cos2u du
=∫0からtまでcos(2t-2u)*cos2u du
=∫0からtまで(cos2tcos2u+sin2tsin2u)*cos2u du
=cos2t∫(cos2u)^2du+sin2t∫sin2ucos2udu
途中加法定理・2倍角の公式を使って
=(1/2)tcos2t+(1/4)sin2t

以上です

Qラプラス変換の合成積について

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今回の質問では合成積の可換法則についてで、
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ここで、gを矩形関数の場合を考えています。
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ただ単にg=1などならfの変数をt-τにしてもtにしても同じ結果になりました。
このとき、矩形関数だと積分範囲がある値からある値まで決まってしまい,
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これでは結果が変わってしまうのではと,思いました。
私のやり方が違うのでしょうか?どうでしょうか?

あまり詳細に書けず、すみません。

Aベストアンサー

#1です。

補足質問の回答です。
>教科書通りだと、
>y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t)
>y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1)
>のようになっています。

これで合っています。
ラプラス変換の畳込みは一般的には以下が成り立ちます。
y(t)
=∫[0->t]f(τ)g(t-τ)dτ■
=∫[0->t]f(t-τ)g(τ)dτ▲
■の式でf(τ)=r(τ)とした場合が教科書の場合です。

次の質問の場合がは▲の式でg(τ)=sin 2(τ)とした場合ですね。
>しかし、たたみ込みでは
>y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t)
これは正しいです。

>y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1)
この積分範囲が正しくありません。
正しい範囲は(積分範囲t-1→t)です。

>と、できてもいいのでは、と思ったのです。
>私のやり方が違うのでしょうか?どうでしょうか?

積分範囲が間違っています。上のように積分範囲を訂正すれば正しい結果がでますね。

畳込みのr(τ-t)の存在範囲が
(t-1→t)であることに注意して被積分関数のr(τ-t)とsin2(τ)の図を描いてみれば理解しやすいかと思います。

#1です。

補足質問の回答です。
>教科書通りだと、
>y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t)
>y(t)=1/2∫sin2(t-τ)dτ : 1<t (積分範囲0→1)
>のようになっています。

これで合っています。
ラプラス変換の畳込みは一般的には以下が成り立ちます。
y(t)
=∫[0->t]f(τ)g(t-τ)dτ■
=∫[0->t]f(t-τ)g(τ)dτ▲
■の式でf(τ)=r(τ)とした場合が教科書の場合です。

次の質問の場合がは▲の式でg(τ)=sin 2(τ)とした場合ですね。
>しかし、たたみ込みでは
>y(t)=1/2∫sin2(τ)dτ : 0<t<1 (積分範囲0→t)...続きを読む

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関数f(t) (0≦t≦1のときf(t)=1、other f(t)=0)と関数h(t) (0≦t≦1のときh(t)=-t+1、other h(t)=0)の畳み込み積分y(t)=∫f(τ)h(t-τ)dτを実際に数値を入れて計算しろと言われたのですが、どのようにやったらいいのかわかりません。

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QRC並列回路(直流)の微分方程式が分かりません

RC並列回路(直流回路)の過渡応答の微分方程式がうまく導くことができません。
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とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしました.

ただし,
v = E u(t). …(4)

(1),(2)よりi_Rを消去して,
i_C = (1 + r/R)i - v/R.

これを(3)に代入して,
v = r i + (1/C)∫(-∞,t]{(1 + r/R)i - v/R}dt
dv/dt = r di/dt + (1 + r/R)i/C - v/(C R)

∴di/dt + (1 + r/R)i/(C r) = {dv/dt + v/(C R)}/r = (E/r){δ(t) + u(t)/(C R)}.

ただし,初期条件は E = r i(0) より
i(0) = E/r.

これがこの回路の微分方程式です.

----
この微分方程式はラグランジュの定数変化法で解くことができて,初期条件を考慮した解は,t > 0 において

i
= (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}
+ E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

したがって,

i_R = E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

i_C = (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}.

コンデンサの両端の電圧は

v_C = R i_R
= E/(1 + r/R) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}]

以上の結果においてr→+0の極限を取ると,その振る舞いはANo.3の解と一致します.

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしまし...続きを読む

Q一巡伝達関数と開ループ伝達関数

一巡伝達関数と開ループ伝達関数は何が違うのでしょうか?
本によって定義がまちまちで、あまり正しい定義がないのかなと思ってしまいますが、ちゃんとした定義が存在するのでしょうか?
インターネットでは一巡伝達関数と開ループ伝達関数は同一視していますが、私の学校の教科書では開ループ伝達関数はフィードバック系を取り除いたときのもの(すなわちC(S)P(S))、一巡伝達関数は閉ループ系を一巡したときのもの(すなわちC(S)P(S)H(S))となっています。

ご存じの方がいたらご教授よろしくお願いします。

Aベストアンサー

教科書の定義が正しいです。

一巡伝達関数は、ループをどこかで切り開いた時に、ループ全体一周する伝達関数で、ループの安定性(位相余裕など)なんかを調べるときに使います。

開ループ伝達関数は、ループをどこかで切り開いた時に、入力と出力の比です。

つまり、ループを切り開いて考えるのは同じですが、一巡伝達関数がループを一周(フィードバックの要素も考える)のに対して、開ループ伝達関数は入力と出力の比です(したがってフィードバックの要素は考えない)。

フィードバックの要素がない場合には、2つは同じになります。

Q時定数について

時定数(τ=CR)について物理的意味とその物理量について調べているのですが、参考書等これといってわかりやすい説明がありません。どうが上記のことについて詳しく説明してもらえないでしょうか?

Aベストアンサー

1次応答のお話ですね。
物理の世界では「1次応答」と呼ばれる系をしばしば扱います。その系の応答の時間的尺度を表す数字が「時定数」です。物理量としては時間の次元を持ち、時間と同様に秒や分などを単位に表現できます。

直感的には「水槽から出て行く水」のアナロジーで考えると分かりやすいと思います。いま水槽があって下部に蛇口が付いているとします。蛇口をひねると水は流れ出ますが、水が流れ切ってしまうまでにどれくらい時間がかかるでしょうか。
明らかに水槽が大きいほど、そして蛇口が小さいほど時間がかかります。逆に水槽が大きくても蛇口も大きければ水は短時間で出て行きますし、蛇口が小さくても水槽が小さければこれまたすぐに水槽はからっぽになります。
すなわち水がからっぽになるまでに要する時間の目安として
 水槽の大きさ×蛇口の小ささ
という数字が必然的に出てきます。ご質問の電気回路の場合は
 コンデンサの容量→水槽の大きさ
 抵抗→蛇口の小ささ
に相当するわけで、CとRの積がその系の応答の時間的な目安を与えることはなんとなくお分かり頂けると思います。

数式を使いながらもう少し厳密に考えてみましょう。以下のようにコンデンサCと抵抗Rとからなる回路で入力電圧と出力電圧の関係を調べます。
 + C  -
○─┨┠─┬──●
↑    <  ↑
入    <R  出
力    <  力
○────┴──●

入力電圧をV_i、出力電圧をV_oとします。またキャパシタCに蓄積されている電荷をQとします。
するとまず
V_i = (Q/C) + V_o   (1)
の関係があります。
また電荷Qの時間的変化が電流ですから、抵抗Rの両端の電位差を考えて
(dQ/dt)・R = V_o   (2)
も成立します。
(1)(2)を組み合わせると
V_i = (Q/C) + (dQ/dt)・R   (3)
の微分方程式を得ます。

最も簡単な初期条件として、時刻t<0でV_i = 0、時刻t≧0でV_i = V(定数)となるステップ応答を考えます。コンデンサCは最初は帯電していないとします。
この場合(3)の微分方程式は容易に解かれて
V_o = A exp (-t/CR)   (4)
を得ます。exp(x)はご存じかと思いますがe^xのこと、Aは定数です。解き方が必要なら最後に付けておきましたので参考にして下さい。
Cは最初は電荷を蓄積していないのですから、時刻t=0において
V_i = V = V_o   (5)
という初期条件が課され、定数Aは実はVに等しいことが分かります。これより結局、
V_o = V exp (-t/CR)   (6)
となります。
時間tの分母にCRが入っているわけで、それが時間的尺度となることはお分かり頂けると思います。物理量として時間の次元を持つことも自明でしょう。CとRの積が時間の次元を持ってしまうのは確かに不思議ではありますが。
(6)をグラフにすると下記の通りです。時刻t=CRで、V_oはV/e ≒0.368....Vになります。

V_o

* ←初期値 V        
│*
│ *
│   *         最後は0に漸近する
│      *       ↓
└───┼──────*───*───*───*─→t
t=0  t=CR
   (初期値の1/e≒0.368...倍になったタイミング)


【(1)(2)の解き方】
(1)の両辺を時間tで微分する。V_iは一定(定数V)としたので
0 = (1/C)(dQ/dt) + (dV_o/dt)
(2)を代入して
0 = (1/CR) V_o + (dV_o/dt)
-(1/CR) V_o = (dV_o/dt)
- dt = dV_o (CR/V_o)
t = -CR ln|V_o| + A
ここにlnは自然対数、Aは定数である。
この式は新たな定数A'を用いて
V_o = A' exp (-t/CR)
と表せる。

1次応答のお話ですね。
物理の世界では「1次応答」と呼ばれる系をしばしば扱います。その系の応答の時間的尺度を表す数字が「時定数」です。物理量としては時間の次元を持ち、時間と同様に秒や分などを単位に表現できます。

直感的には「水槽から出て行く水」のアナロジーで考えると分かりやすいと思います。いま水槽があって下部に蛇口が付いているとします。蛇口をひねると水は流れ出ますが、水が流れ切ってしまうまでにどれくらい時間がかかるでしょうか。
明らかに水槽が大きいほど、そして蛇口が小さい...続きを読む

Qボード線図の書き方についてわかりません

たとえば伝達関数が
G(s)=k/1+Ts 
の形ならば、ゲイン、位相差について書き方がわかるのですが

レポートで
G(s)=1/2s^2+3s+1
という問題が出まして
ゲイン、位相は計算としてはできたのですが、図が描けません。
横軸が普通1/Tなどなので
そこをどう設定して、どう描けばよいかわかりません。

恥ずかしながら苦手な分野なので
なるでく詳しい解説を所望いたします。

Aベストアンサー

図の詳しい描き方を習ってないのかな。
伝達関数の"掛け算"は、ボード線図上では"足し算"になります。(ゲインはlogをとったため.位相は、expの性質から)

G(s)=1/2s^2+3s+1 = {1/(2s+1)}・{1/(s+1)}となりますから、
1/(2s+1)・・・(1)
1/(s+1)・・・(2)
という1次系システムの掛け算になっています。
この2つのボード線図を書いて、それぞれ足しあわせればいいです。

もうちょっと詳しくいうと、(横軸の単位省略します)
(1)はT=2なので横軸が0.5のところで曲がりますね。
(2)は横軸が1のとこで曲がりますね。

この(1)と(2)の図をそれぞれ描いてください。
0.5までは両者とも0[dB]を取るので、0[dB]+0[dB]=0[dB]
0.5~1.0までは(1)が-20[dB/dec]、(2)が0[dB]
1.0以降は両者とも-20[dB/dec]になります。

このため、Gのゲイン千頭は,0.5まで0[dB]
0.5~1.0は-20[dB/dec]
1.0~は-40[dB/dec]
のグラフになります。

ボード線図は、制御工学上でめちゃくちゃ重要な図なので、いまのうちに得意にしておいたほうがいいですよ。
(後々、PIDとか位相進み遅れとか、ゲイン余裕・位相余裕・ループ整形とかやるかと思いますが、ボード線図を読めないとおわります)

演習本なんかは『演習で学ぶ基礎制御工学』なんかをお勧めします。

図の詳しい描き方を習ってないのかな。
伝達関数の"掛け算"は、ボード線図上では"足し算"になります。(ゲインはlogをとったため.位相は、expの性質から)

G(s)=1/2s^2+3s+1 = {1/(2s+1)}・{1/(s+1)}となりますから、
1/(2s+1)・・・(1)
1/(s+1)・・・(2)
という1次系システムの掛け算になっています。
この2つのボード線図を書いて、それぞれ足しあわせればいいです。

もうちょっと詳しくいうと、(横軸の単位省略します)
(1)はT=2なので横軸が0.5のところで曲がりますね。
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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/


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