出産前後の痔にはご注意!

画像参照。

半径rのなまらかな半球の頂上で物体に水平に初速度vを与えた
とき頂上で物体が半球から離れて空中にとびだすためのvの条件は



この問題の私の捉え方は、頂上で物体が半球から離れるとかいてあるので
物体が頂上にいて、それをぱかーんっと棒かなんかで打って、半球から離れる
という意味だと思うのですが、
(1)それなら円運動関係なくないですか・・?
それなら崖の先に物体をおいてぱかーんっとしても同じことでなはないのですか。。

(2)この物体が頂上にあるとき重力mgと垂直抗力Nが働いてつりあってるとおもっていたのですが
解答では遠心力も入っていて、↑ではNと垂直抗力 ↓ではmg
これでつりあってるみたいで、mv^2/r+N-mg=0となっているのですが
なぜ頂上にいるだけで遠心力がかかっているのですか。もしかして、動き出したその瞬間を捉えているのですか?



(3)解説では、垂直抗力は0になるときはまだ物体は半球からは離れていない
とかいていますが、それはなぜですか
先生は、Nが0になっても、遠心力とmgがつりあってるからといわれました、
確かにmv^2/r+N-mg=0のときN=0を代入すると一緒になりますが、そもそも
Nと遠心力ふたつあわせてmgになるのにNが0になるときそれもmgと一緒って・・なんかおかしくないですか・・。。


すいません、理解力ない私・・。

「物理の円運動の問題」の質問画像

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A 回答 (2件)

>(1)それなら円運動関係なくないですか・・?



v が十分大きければ。小さいときは円に沿って動きます。

>(2)この物体が頂上にあるとき重力mgと垂直抗力Nが働いてつりあってるとおもっていたのですが

加速度運動する物体に加わる力は釣り合っていません。釣り合っていないからこそ加速度運動します。

m(dx^2/dt^2)=F(重力や垂直抗力)

これを書き換えると

0 = F - m(dx^2/dt^2)

つまり、加わる力と「慣性力」は釣り合います。先生の言っているのはこれですね。
つまり動力学でつり合いで考えるなら「慣性力」を含めるのが必須だってことです。

ちなみにN(垂直抗力)は束縛力と呼ばれるもので、束縛を保つために必要な
力を自動的に生み出します。
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>(1)それなら円運動関係なくないですか・・?



初速次第です。
鉛直方向には重力が働いているので、障害がなければt秒後には必ず(1/2)gt^2だけ下に動きます。
この間、水平方向にvt進みますが、このときにvが十分に大きければ水平にvt進んだ位置と球面の間に(1/2)gt^2より大きな間隔があいているので物体は球面に衝突することなく放物線を描いて落下していきます。

ところが、vが小さいとvt水平に進んだ位置と球面の間の距離が(1/2)gt^2より小さいということがおきます。このとき、物体は球面より下には下がれないので、球面から垂直抗力を受けて球面上に留まることになります。

料理に使うボールを裏返しにおいてそのうえでパチンコ玉かビー玉を軽く軽く触って動かす事を考えたらいいでしょう。

>(2)この物体が頂上にあるとき重力mgと垂直抗力Nが働いてつりあってるとおもっていたのですが

上のとおりvが小さいときは球面に乗って円運動します。円運動するためには向心加速度mv^2/rが必要です。
この向心加速度は重力と垂直抗力の差によって作られるので

mv^2/r = mg - N

考えにくければ、頂点から球面上を円運動して角θだけ移動したとすると、この動径方向のつり合いの式は

mv(θ)^2 /r = mg cosθ-N(θ)

なので、この式のθ->0の極限と考えればいいでしょう。厳密にθ=0なのではなく、θ=0から無限小の角度進んだところのつり合いの式。

>(3)解説では、垂直抗力は0になるときはまだ物体は半球からは離れていない
とかいていますが、それはなぜですか

まあ、離れると離れないの境界ですね。
円運動するときの条件がN<0ということになったとすると、垂直抗力ではNが負にならないので条件を満たさず、N<0になった瞬間に球面を離れるということになります。
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図のように、物体は半径rの等速円運動をしています。
等速円運動しているなら、物体には向心力Fが働いているはずですね。
向心力は、円運動の中心Oに向かう力でした。
ところで、物体に働いている力は、図に示したように、重力Wと球面からの垂直抗力Nです。
これら2つの力の合力が向心力の役割を果たしているのだということに気付かなければなりません。

ここまでをまとめると、WとNとの合力はOを向いているはず! ということですから、WとNとは添付図のような関係になっていなければなりません。
Nを水平方向成分Nxと鉛直方向成分Nyとに分解すると
 
Nx=N・sinθ
Ny=N・cosθ
図を見ると、NyはWと同じ大きさであることがわかるはずです。

∴ mg=W=N・cosθ
∴ N=mg/cosθ

また、△QPOに注目すると、PQ=Rですから
 cosθ=(R-h)/R
となっていることもわかるはずです。
∴ N=…

ちなみに、向心力Fは Nx となっていることがわかるはずですから
 Nx=mv^2/r
 =mv^2/(R・sinθ)
 cosθ=(R-h)/R
でしたから、公式
 (sinθ)^2+(cosθ)^2=1
より、
 sinθ=…
と定まりますから、速度vも定まります。

図のように、物体は半径rの等速円運動をしています。
等速円運動しているなら、物体には向心力Fが働いているはずですね。
向心力は、円運動の中心Oに向かう力でした。
ところで、物体に働いている力は、図に示したように、重力Wと球面からの垂直抗力Nです。
これら2つの力の合力が向心力の役割を果たしているのだということに気付かなければなりません。

ここまでをまとめると、WとNとの合力はOを向いているはず! ということですから、WとNとは添付図のような関係になっていなければなりません。
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Aベストアンサー

私も等号を含めるか含めないかについては
どうでもいいと思います。
(特に力学のように工学に密接した分野においては)

垂直抗力>0としたら解けなかった、とありますが、
これも気持ち次第じゃないでしょうか。

斜面上を運動する条件は垂直抗力>0と信じていたとしても、その極限として垂直抗力=0を考えて
この問題を解く、と割り切ればいいのです。
出題者も、そこまで厳密に考えているとは
思えないですよ。

ちなみに私の考えでは、垂直抗力=0は、現実問題
としては、斜面に少なからず凹凸があり、
小球は斜面から離れると思います。
しかし、斜面をより精密に滑らかにすれば、
さきほどよりは斜面から離れなくなると思います。

そしてさらに斜面を滑らかにして…
と繰り返していけば、
「垂直抗力=0で斜面から離れない」といった
現実ではちょっと考えられないような状態に
どんどん近づいていくはずです。

その極限を私はイメージします。
もっとも、これは極限だから、実際にはありえないでしょうけど。

もし工学的に応用したいのであれば、
いくらかの余裕(マージン)を見ておけば
実用上問題ないでしょう。

私も等号を含めるか含めないかについては
どうでもいいと思います。
(特に力学のように工学に密接した分野においては)

垂直抗力>0としたら解けなかった、とありますが、
これも気持ち次第じゃないでしょうか。

斜面上を運動する条件は垂直抗力>0と信じていたとしても、その極限として垂直抗力=0を考えて
この問題を解く、と割り切ればいいのです。
出題者も、そこまで厳密に考えているとは
思えないですよ。

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