学校で宿題を出されたのですが、全然分かりません。どなたか解いて解説お願いします。
問1 aを定数とし、空間内の2直線g、hをg:x=y=s+1,z=2s-1 
   h:x=2t+a,y=3t+2,z=t+1とする。
   2直線g,hが交わるようにaの値を求めよ。

問2 原点をOとし、3点A(2,0,0),B(0,4,0),C(0,0,3)
   をとる。原点Oから3点A,B,C,を含む平面に下ろした垂線の足を
   Hとする。このときのHの座標を求めよ。

 お願いします。出来れば今日中に・・・。

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A 回答 (8件)

まだパニックですか…?乗りかかった船ですから、もう一寸だけ。

点数は要りません。お節介ながら小手先の答えを出すことより考え方の方が大事だと思いますので。

a + by + cz = d ………………………Equ.1)
a^2 + b^2 + c^2 = 1…………………Equ.2)

という「ヘッセの標準形」ですが、平面上の点P(x,y,z)は必ずこの式を充たします。そしてとても大事なことですが、

1) 面法線N=(a,b,c) と言うのは、面に直交する単位ベクトルのことです。これも図形処理をやろうと思ったら必須の知識!。
2) dは、原点からこの平面に下ろした垂線の足の長さ、即ち、原点から平面までの距離になっていることです。dは取り方によっては、<0にもなり得ますが、ここでは>=0としてよいです。

3点A,B,Cも、原点からこの平面への垂線の足もこの式を充たします。先ずこのことをしっかり理解してください。で、求めたい足をH(xh, yh, zh)としましょう。

dは「足の長さ」ですから、

H=dN=(d*a, d*b, d*c)…………………Equ.3)

を求めればよいのです。何故なら単位ベクトル、即ち長さが1の面に垂直なベクトルに足の長さを掛けると、「足の位置」が求まるからです。

ですから、A(2,0,0)、B(0.4.0)、C(0.0.3)をEqu.1)に代入すると、
2a = d
4b = d
3c = d…………………………………Equ.4)

が得られます。これを解こうにも、未知数が4つ、式が3つですから、そのままでは解けません。ですが、a^2 + b^2 + c^2 = 1ですから、Equ.4)のa,b,cを代入すると、

(d/2)^2 + (d/4)^2 + (d/3)^2
=(61 / 144) * d^2 = 1

従って、
d^2 = 144/61
d = +- 12/sqrt(61)……………………Equ.5)

です。dは+-、2通り求まりますが、a,b,cの符合も変わるので、
d = 12/sqrt(61)………………………Equ.6)

としてよいです。(sqrt(61)というメンドイ計算を実際にやるわけではないです)

これをEqu.4)に代入すると、Equ.3)から、
d*a=72/61
d*b=36/61
d*c=48/61

が求まります。

以上の方法は、我々、図形処理を職業として行なっている者からすると、極めて素直なやり方なんですが、ヘッセの標準形において、何故dが足の長さになっているかという証明が抜けています。学校での課題としてなら他の方のやり方の方がベターかも知れません。
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この回答へのお礼

こんなに詳しく説明していただいて、有難うございます。詳しい説明のおかげでやっとわかりました。でも、ax+ by + cz = d とか、a^2 + b^2 + c^2 = 1とか、初めて見ました。言われてみれば、確かに面に直交する単位ベクトルに垂線の長さをかけてやれば求めるHが決まりますね。このようなやり方初めて見ました。絶対学校でやってないと思います。あとちょっと気になったことがあったのですが、Equ.1っていうのは、(1)とかのことで、a^2はaの2乗で、sqrt(61)はルート61のことですよね?そう思って解いていきましたが・・・。まあ、そしたら答えが出たのでそういうことかなあと・・・。いや~、それにしても自分でやっていって答えが出たときにちょっとした感動が起こりました。数学って解けたときの感動があるからいいですよね。答えは1つなのにいろいろな考え方ができるし。っていうか、ちょっと長く書きすぎたでしょうか?この位でやめときます。こんなに詳しく分かりやすく説明して下さって本当に有難うございました。とっても、感謝しています。

お礼日時:2001/05/24 19:36

私は学生さんに、直接「マンマ」の答えを出すのはよくないという立場なので、あくまでヒントにとどめたのですが、「パニック」と言われたので、もう一寸詳しく....。



平面は「ヘッセの標準形」と言って、

a*x + b*y + c*z = d.....Equ.1)

という形で表わします。これは「定石」と言ってもいいです。

・(a,b,c)は平面の単位法線ベクトルです。これを「N」としましょう。
・dは原点から平面までの距離です。
・ですから、その単位法線ベクトルをd倍したものが、dN=(da, dy, dz)であり求める答えです。
・a:b:cの比率は直ぐに求まります。これを正規化、即ちベクトルの長さで割って単位ベクトル化したものが「N」です。
・dも「No.1」で書いたように自然に求まります。
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この回答へのお礼

本当になんとなくですが分かった気がします。でも、ヘッセの標準形とか、法線ベクトルとかはじめて聞きました。でも、定石は聞いたことがあるような気がします。でも・・・。う~ん、やっぱパニックです。でも、2回も回答してくださって有難うございました。

お礼日時:2001/05/23 23:16

問2について


以下ではOA,OB,OC,OH,AB,ACは上に
矢印がついている、すなわちベクトルだと思ってください。
この問題でポイントは2つ。
1つは点Hが平面ABC上にあるということをどう表現するか。
2つ目はOHと平面ABCが垂直であるということをどう処理するか。

1つ目について
OH=sOA+tOB+(1-s-t)OC
  =(2s,4t,3-3s-3t)     (ア)
と表せることはいいでしょうか。教科書には
sOA+tOB+uOC   ただし、s+t+u=1
などと書いてあるかもしれませんが同じことですよね。

2つ目について
OHとAB,OHとACがそれぞれ垂直になればよいですね。
(分かりますか。図を書いて納得しましょう。大事な概念です。)
ベクトルの問題で垂直とか垂線がでてきたら、内積が0
とやりますよね。(受験常識です。覚えましょう。)
よって
OH・AB=0, OH・AC=0
なので、(ア)より
(2s,4t,3-3t-3s)・(-2,4,0)=0
(2s,4t,3-3t-3s)・(-2,0,3)=0
この連立方程式を解いて
s=36/61,t=9/61
(ア)に代入して
OH=(72/61,36/61,48/61)を得ます。
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この回答へのお礼

今日の授業でこれと同じやり方でやりました。皆さんって本当に頭良いですよね。こんな問題もスラスラっと解けちゃうんですか?うらやましい・・・。俺はこの問題を自力で解こうとして20分くらい悩んだんですけど、分かりませんでした。いづれにせよ、回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/05/23 23:03

ゴメンナサイ。


チョットかんちがいしてましたね。

(a,b,c)=(2b,b,4/3b)----(1)
のトコからやりなおしデス。

上の式を変形すると、
(a,b,c)=b(2,0,0)+b/4(0,4,0)+4b/9(0,0,3)

Hは面ABC上にあるので、

b+b/4+4b/9=1

これを解くと、b=36/61

これを(1)に代入すると答えがでてきマス。

いやぁ、さいしょっからつまずいてしまいました。ハズカシイ...
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この回答へのお礼

回答有難うございました。今日の授業で助かったとともに、知識として頭にしっかり入りました。2度も回答していただいて有難うございました。これからもよろしくお願いします。

お礼日時:2001/05/23 22:53

ちゃんと自分で皆さんの回答を追ってみましたか。


nagata さんの回答は t の値を計算ミスされてるだけであってますよ。
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この回答へのお礼

そのようでしたね。まず答えが違っていたので、解き方をあまり見ませんでした。
今度からはきちんと見るようにします。

お礼日時:2001/05/23 22:56

問2について



この問題は,ベクトルを使うともっと簡単に解けます。
まず、BAベクトルは、(2,-4,0)
CBベクトルは、(0,4,-3),CAベクトルは、(2,0,-3)。

ここで、Hの座標を、(a,b,c)とおくと、

OHベクトルと、さきにあげた3つのベクトルは互いに直行してるので、

4b-3c=0,2a-4b=0,2a-3c=0

この3式よりa,cを消去して、
(a,b,c)=(2b,b,4/3b)

また、Hは、平面ABC上にあるので、

2b+b+4/3b=1より、b=3/13

よって、答えは、(6/13,3/13,4/13)

いやぁ、はじめて質問に答えるので、キンチョウしてますが、
おそらくあってるとオモイマス。
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この回答へのお礼

nagataさんのお礼にも書いたのですが、答えは(72/61,36/61,48/61)です。何が間違っていたのでしょうか?

お礼日時:2001/05/22 21:44

問1


交わる点p(X,Y,Z)は両方の直線の式を満たすので
X=s+1=2t+a
Y=s+1=3t+2
Z=2s-1=t+1

Y,Zの式はsとtの連立方程式なのでこれを解けばs,tが求まります。
それをXの式に代入すればaが求まります。

問2
3点A、B、Cを通る平面の式は(x-2)/2+y/4+z/3=0と表せます。
で、この平面の垂線の方向は(1/2、1/4、1/3)となります。
原点を通り、この垂線と並行な直線上の点はt(1/2、1/4、1/3)と書けます。
これが平面ABC上にあるので

(t/2-2)/2+(t/4)/4+(t/3)/3=0
t=4/29
H=(2/29,1/29,4/87)
となります。

すいません、問2は全く自信無しです。間違っている可能性大です。
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この回答へのお礼

回答有難うございます。問1は分かりやすくて助かりました。問2は答えは違っていました。答えだけは分かっています。答え(72/61,36/61,48/61)です。
言い忘れていましたが、ここはベクトルの問題で、実はHの座標を求めるのは(2)で、(1)は△ABCの重心の座標Gを求めよという問題があったのですが、言った方が良かったでしょうか?そうならすみません。

お礼日時:2001/05/22 21:40

とりあえず、問2のヒントだけ。



平面は
a*x + b*y + c*z = d.....Equ.1)

と表現されます。ここに、
a^2 + b^2 + c^2=1.......Equ.2)
です。

通過点を考えると、

2a = d,
4b = d,
3c = d...................Equ.3)

ですから、a,b,cの比率が決ります。これと条件Equ.2)から、a,b,c,dが全て決ります。

で、原点からこの平面に下ろした足は、

dN = (da, db, dc)........Equ.4)

になります。Nは平面の法線ベクトル(a,b,c)です。

問1も難しくないが、誰か答えてくれるでしょう。
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この回答へのお礼

回答有難うございました。かなり難しいように思えて、パニックです。

お礼日時:2001/05/22 21:30

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