木曜日までの宿題なんですけど誰か教えてください・・・。
注:以下のan+1,bn+1 などはn+1番目のa,bという意味です。わかりにくくてすいません。

0>a1>b1 , an+1=√(anbn) , bn+1=(an+bn)/2 (n=1,2,3,・・・)
で与えられている数列{an},{bn}について、次を証明せよ。

(1){an}は増加関数、{bn}は減少関数である。
(2)lim(n→∞)an=lim(n→∞)bn


もう1問いいですか。

回転楕円形x^2+y^2+(z^2)/4=1の表面上で、f(x,y,z)=x+y+z を最大化するような座標を求めなさい。

むずかしいっすよね・・

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A 回答 (4件)

0>a1>b1っておっしゃってますが不等号の向き、逆ですよね?じゃないと(1),(2)が成り立たないので。



an+1ってanとbnの相乗平均ですよね。bn+1は相加平均。要はそこに気付いたかどうかの問題。
相乗平均と相加平均が大小関係を保ちながら近付いて行く様が思い浮かべればこの問題の意図をクリアしたってことです。

(1)
(相加平均>=相乗平均)より
    an <= √(anbn) <= (an+bn)/2 <= bn (等号成立はan=bnのとき)
a1≠b1なので数学的帰納法によりすべてのnに対して等号が不成立となり、
    an < an+1 < bn+1 < bn
ゆえに{an}は単調増加数列、{bn}は単調減少数列。

(2)
bn+1 - an+1 = (an + bn)/2 - √(anbn)
      < (an + bn)/2 - an    (an < √(anbn) より)
      < (bn - an)/2
    ∴bn - an < (1/2)^(n-1) (b1 - a1) → 0 (n→∞)
ゆえに
    lim(n→∞)an = lim(n→∞)bn

もう一問は分かりません。
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こんにちは。

高校生向けで回答します。
変数が多い場合、ある文字に着目し、他の文字をとりあえず定数とみる方法があります。それで解いてみます。

x+y+z=Kとする
変形してx=k-y-z
楕円の式に代入して
(k-y-z)^2+y^2+z^2/4=1
これをyで微分します(zは定数とみなします)
省略
y=(k-z)/2で最小になるのが分かります
そのときのxは平面の式に代入して
x=(k-z)/2になります
つまり
( (k-z)/2,(k-z)/2,z)で最小になる
またこれを楕円の式に代入します
同じように今度はzで微分します
するとz=2/3kで最小になるのが分かります
これを楕円の式に代入すればkの最小値が-√6になる
先ほどの座標に代入すれば
(-1/√6,-1/√6,-4/√6)
で最小値-√6になることが分かります

答案は自分で上手に書いてください
(ポイントは変数がいっぱいあってもひとつずつ攻めることです)
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余談ですが,第1問の極限値は算術幾何平均と呼ばれていて


M(b,a) とよく書かれます.
M(b,a) は楕円積分と深い関係があります.
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=48211
を参照下さい.
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宿題の解答を全部書くのは気が進みませんので,ヒントだけ.



○ 前半の問題
a(n+1)^2 - a(n)^2 を作って見るなどしてみたら?

○ 後半の問題
標準的方法はラグランジュ未定乗数法でしょう.
質問検索で調べてみてください.
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=69705
の思想を3次元に拡張する方法もあるでしょう.
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