木曜日までの宿題なんですけど誰か教えてください・・・。
注:以下のan+1,bn+1 などはn+1番目のa,bという意味です。わかりにくくてすいません。

0>a1>b1 , an+1=√(anbn) , bn+1=(an+bn)/2 (n=1,2,3,・・・)
で与えられている数列{an},{bn}について、次を証明せよ。

(1){an}は増加関数、{bn}は減少関数である。
(2)lim(n→∞)an=lim(n→∞)bn


もう1問いいですか。

回転楕円形x^2+y^2+(z^2)/4=1の表面上で、f(x,y,z)=x+y+z を最大化するような座標を求めなさい。

むずかしいっすよね・・

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (4件)

0>a1>b1っておっしゃってますが不等号の向き、逆ですよね?じゃないと(1),(2)が成り立たないので。



an+1ってanとbnの相乗平均ですよね。bn+1は相加平均。要はそこに気付いたかどうかの問題。
相乗平均と相加平均が大小関係を保ちながら近付いて行く様が思い浮かべればこの問題の意図をクリアしたってことです。

(1)
(相加平均>=相乗平均)より
    an <= √(anbn) <= (an+bn)/2 <= bn (等号成立はan=bnのとき)
a1≠b1なので数学的帰納法によりすべてのnに対して等号が不成立となり、
    an < an+1 < bn+1 < bn
ゆえに{an}は単調増加数列、{bn}は単調減少数列。

(2)
bn+1 - an+1 = (an + bn)/2 - √(anbn)
      < (an + bn)/2 - an    (an < √(anbn) より)
      < (bn - an)/2
    ∴bn - an < (1/2)^(n-1) (b1 - a1) → 0 (n→∞)
ゆえに
    lim(n→∞)an = lim(n→∞)bn

もう一問は分かりません。
    • good
    • 0

こんにちは。

高校生向けで回答します。
変数が多い場合、ある文字に着目し、他の文字をとりあえず定数とみる方法があります。それで解いてみます。

x+y+z=Kとする
変形してx=k-y-z
楕円の式に代入して
(k-y-z)^2+y^2+z^2/4=1
これをyで微分します(zは定数とみなします)
省略
y=(k-z)/2で最小になるのが分かります
そのときのxは平面の式に代入して
x=(k-z)/2になります
つまり
( (k-z)/2,(k-z)/2,z)で最小になる
またこれを楕円の式に代入します
同じように今度はzで微分します
するとz=2/3kで最小になるのが分かります
これを楕円の式に代入すればkの最小値が-√6になる
先ほどの座標に代入すれば
(-1/√6,-1/√6,-4/√6)
で最小値-√6になることが分かります

答案は自分で上手に書いてください
(ポイントは変数がいっぱいあってもひとつずつ攻めることです)
    • good
    • 0

余談ですが,第1問の極限値は算術幾何平均と呼ばれていて


M(b,a) とよく書かれます.
M(b,a) は楕円積分と深い関係があります.
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=48211
を参照下さい.
    • good
    • 0

宿題の解答を全部書くのは気が進みませんので,ヒントだけ.



○ 前半の問題
a(n+1)^2 - a(n)^2 を作って見るなどしてみたら?

○ 後半の問題
標準的方法はラグランジュ未定乗数法でしょう.
質問検索で調べてみてください.
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=69705
の思想を3次元に拡張する方法もあるでしょう.
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aと関連する良く見られている質問

QA={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c

A={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c}}のとき、A∩Bは{Φ}なのかそれとも{a,b}などを含むのかどうかがわかりません。 わかる人がいらっしゃるなら教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

落ち着いて考えれば分かるはず。
ただ、若干の慣れは必要かも・・・。

・考え方
Aの元は、Φと{{a,b},{a,c}}}の2個。
Bの元は、Φと{a,b}と{a,c}の3個。
共通するのは、Φだけ。

よって、A∩Bの元はΦだけ。
つまり、A∩B={Φ}。

QAn={1+(1/n)}^n (n=1,2,3,…)について…(続く)

【問題】An={1+(1/n)}^n (n=1,2,3,…)につい数列{An}は単調増加であることを示せ。すなわちAn<A(n+1)を示せ。またAn<3であることも示せ。
(※ただし,二項定理を利用せよ。)
よろしくお願いします。
二項定理にあてはめてみたのですが…そっからさっぱりです^^;

Aベストアンサー

AnとA(n+1)を二項展開したものは次のようになります。

An=1+1+1/2!*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
A(n+1)=1+1+1/2!*{1-1/(n+1)}+1/3!*{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}・・・

ここで、対応する各項の括弧内を比較しますと、どの項においてもA(n+1)の方が大きくなっています。つまり、自然数mに対して、
(1-m/n)<(1-m/(n+1))
ですので、
A(n+1)>An
であることが分かります。
次に、3より小さくなることについてです
An=1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
 <1+1+1/2!+1/3!+・・・+1/n!
ここで、
1/n!=1/1*2*3*・・・*n<1/2^(n-1)
ですから、
An< 1 +1+1/2^(2-1)+1/2^(3-1)+・・・+1/2^(n-1)
= 1 +{1-(1/2)^n}/(1-1/2)
= 1 +2{1-(1/2)^n}
= 3 -(1/2)^n
< 3
となります。
limをとってやれば、自然対数の底e<3であることが分かりますね。
また、A1=(1+1/1)^1=2であることから2<eでもあります。
e<3を示す時に、もう少し精度を増してe<2.75にすることもできます。

AnとA(n+1)を二項展開したものは次のようになります。

An=1+1+1/2!*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
A(n+1)=1+1+1/2!*{1-1/(n+1)}+1/3!*{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}・・・

ここで、対応する各項の括弧内を比較しますと、どの項においてもA(n+1)の方が大きくなっています。つまり、自然数mに対して、
(1-m/n)<(1-m/(n+1))
ですので、
A(n+1)>An
であることが分かります。
次に、3より小さくなることについてです
An=1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
 <1+1+1/2!+1/3!+・・・+1/n!
...続きを読む

Q数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1

数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1,2,3,,) 0<s<r<1 で与えられている時、
Σ∞_(n=1) a_(n)b_(n) = 1/3 , Σ∞_(n=1) a_(n)/b_(n) = 3
を満たすとする。この時、s+rの値を求めよ

Aベストアンサー

  a[n] = s^n
  b[n] = r^n
より、
  a[n]*b[n] = (s*r)^n
  a[n]/b[n] = (s/r)^n
もまた等比数列となる。

等比数列の和の極限は公式により求められるから、
  Σ[n=1~∞]{a[n]*b[n]} = 1/3
より
  s*r = 1/2
が分かり、
同様に
  Σ[n=1~∞]{a[n]/b[n]} = 3
より
  s/r = 3/4
が分かる。

二つの未知数s,rに対して、二式
  s*r = 1/2
  s/r = 3/4
が得られたから、あとはs<rという条件を加え、連立方程式を解くことでs,rの値が求まる。

Q何故lim[n→∞](a_n-1)/(a_n+1)=0⇒lim[n→∞]a_n=1?

識者の皆様おはようございます。

lim[n→∞](a_n-1)/(a_n+1)=0⇒lim[n→∞]a_n=1
を示すのに困っています。
定義に従って書くと仮定は
0<∀ε'∈R,∃m'∈N;m'<k⇒|(a_k-1)/(a_k+1)-0|<ε'…(*)
となり、
これから
0<∀ε∈R,∃m∈N;m<k⇒|a_k-1|<ε…(**)
を導かねばならないのですがなかなか(*)から(**)を導けません。
どのようにして導けますでしょうか?

Aベストアンサー

対偶を使えばいいでしょ。つまり(**)の否定から(*)の否定を導けば良い。

 (**)を略記なしに書くと、
∀ε((ε∈R∧0<ε)⇒∃m(m∈N∧∀k((k∈N∧m<k)⇒|a_k-1|<ε)))
であり、その否定は
∃ε((ε∈R∧0<ε)∧∀m(m∈N⇒∃k((k∈N∧m<k)∧((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)))
です。質問者さん流に書けば
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…~(**)
とでもなりますか。すると(*)の否定は
0<∃ε'∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')…~(*)
となりましょう。

 で、~(**)⇒~(*)を証明すりゃ良い。まず~(**)だとすると、ε, m, kを固定したとき、
[1] (a_k-1)≧εの場合、(ANo.1の計算を利用すると)
(a_k-1)/(a_k+1) = 1-2/(a_k +1)≧1-2/(2+ε)>0
[2] -(a_k-1)≧εの場合も同様に、
-(a_k-1)/(a_k+1) = -(1-2/(a_k +1))≧2/(2-ε)-1>0
です。
 さてここで、
0<ε'∧((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')
が成り立つようなε'(ただしε'は、m, kに依らずεだけで決まる)の具体例をひとつ構成すれば良いわけです。

対偶を使えばいいでしょ。つまり(**)の否定から(*)の否定を導けば良い。

 (**)を略記なしに書くと、
∀ε((ε∈R∧0<ε)⇒∃m(m∈N∧∀k((k∈N∧m<k)⇒|a_k-1|<ε)))
であり、その否定は
∃ε((ε∈R∧0<ε)∧∀m(m∈N⇒∃k((k∈N∧m<k)∧((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)))
です。質問者さん流に書けば
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…~(**)
とでもなりますか。すると(*)の否定は
0<∃ε'∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')…~(*)
となりましょう。

 で、~(**)⇒~(*)を証明すりゃ良い。まず~(**)...続きを読む

Q{An}が An>0 lim[n→∞]An=α(0≦α<1) を満たす

{An}が An>0 lim[n→∞]An=α(0≦α<1) を満たすとき
lim[n→∞]A1A2…Anを証明つきで求めよ


0に収束すると予測できますが証明がわかりません

|b|<1のときlim[n→∞]b=0は既知とします

Aベストアンサー

まあ,勘でも何でもいいんだけども
条件を満たすシンプルな数列を作ってみればいいじゃない

自明な例:an = 1/2

{An}がαに収束するってことは
十分大きなNをとれば,
n>N ならば 0<α-ε<An<α+ε<1
ってできるってことだよ.

そうしたら,|A_{N+1}・・・A_n|<|α+ε|^{n-N}
なんだから,あとは「有限個」のA_1,・・・A_Nの最大値をMとでもおけば
不等式評価できるでしょう

|A1A2…An|<M^N|α+ε|^{n-N}


人気Q&Aランキング

おすすめ情報