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dx/dt = 1-cost
dy/dt = sint
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = sint/(1-cost)

の時に (d^2)y/dx^2 を求めたいのですが、
(d^2)y/dx^2 = (d/dx)(dy/dx) = (dt/dx)(d/dt)(dy/dx) = {1/(1-cost)}(d/dt){sint/(1-cost)} と計算していった時と、
(d^2)y/dx^2 = (d/dx)(dy/dx) = (d/dt)(dt/dx)(dy/dx) = (d/dt){1/(1-cost)}{sint/(1-cost)}
= (d/dt){sint/(1-cost)^2}

と計算していった場合で答えが違いました。
tで微分する順番が関係あるのでしょうか。
よろしくお願い致します。

A 回答 (3件)

(d^2)y/dx^2 = (d/dx)(dy/dx) = (dt/dx)(d/dt)(dy/dx) が正解で、


(d^2)y/dx^2 = (d/dx)(dy/dx) = (d/dt)(dt/dx)(dy/dx) は間違い。
t で微分する順番が関係あるのです。

(d/dx)(dy/dx) = (dt/dx)(d/dt)(dy/dx) の d/dx や d/dt は、
掛け算してあるのではなく、その右側の式を微分することを表してます。
だから、式中の位置には意味が有って、やたらには変えられません。

(d/dx){ dy/dx } = (dt/dx)・(d/dt){ dy/dx }
(d/dx){ dy/dx } ≠ (d/dt){ (dt/dx)・(dy/dx) }
と書いたら、(d/dx){ } の { } の中へ dt/dx が入っていけない状況が
理解できるでしょうか?

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
重ねてお伺いしますが、
(dt/dx)・(d/dt){ dy/dx }
はdy/dxをtで微分した式にdt/dxをかけたもの。

(d/dt){ (dt/dx)・(dy/dx) }
は(dt/dx)と(dy/dx)をかけた式をtで微分したもの

とこの理解でよろしいでしょうか。

また、その場合(d/dx){ dy/dx } = (dt/dx)・(d/dt){ dy/dx }
の方が正解になるのはなぜでしょうか。

補足日時:2013/02/28 00:13
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この回答へのお礼

理解できました。ありがとうございました!

お礼日時:2013/02/28 13:59

その疑問, dy/dx を求めるときには感じなかったのですか?



dy/dx = (d/dx)y = (dt/dx)(d/dt)y
と計算したときと
dy/dx = (d/dx)y = (d/dt)(dt/dx)y
と計算したときとでは答えが違いますよ.
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この回答へのお礼

分かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2013/02/28 13:58

dy/dx を求めるときには疑問に思わなかったんでしょうか?

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Aベストアンサー

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+1)-y(a))/(a+1 - a)
 = ((a+1)^2 - a^2)/(a+1 - a)
 = 2a + 1


では、xの変化をさらに1つ減らした場合を考えます。
それは、xをaからaに変化させるということです。
aがいかなる値であっても、y=x^2のグラフには、たしかに傾きがありますが、
傾きというのは、変化の割合と同じです。
ですから、答えがあるはずです。
そこで、上記と同じく、x=a における変化の割合を求めるとすると、どうなるかと言えば、
(y(a)-y(a))/(a-a) = 0/0 (=不定)
という、わけのわからない結果となってしまいます。
しかし、グラフの傾きも、変化の割合も存在するはずです。

そこで、非常に小さい変化量を、dをつけた記号で表すことを考えます。

xの変化は、 a → a+dx
yの変化は、 y(a) → y(a+dx)

xの変化量は、dx ( = a+dx - a)
yの変化量は、dy = y(a+dx) - y(a)
です。


x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 =(y(a+dx)-y(a))/(a+dx - a)
 = ((a+dx)^2 - a^2)/(a+dx - a)
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
とすることができます。

分子に(dx)^2 がありますが、
dx自体が非常に小さい量ですので、(dx)^2 は、全く無視してよい量となります。
よって、
x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
 = 2adx/dx
 = 2a
となります。

これで、x=a のときの dy/dx は、 2a と表せることがわかりました。

ということは、いかなるxの値についても、
dy/dx = 2x
であるということです。

以上のことで、
・x^2 を微分したら 2x になること
・dy/dx は、xの変化に対するyの変化の割合
の意味がおわかりになったと思います。


そして、
たとえば、y、t、x の3変数があって、
ある地点において、
tの変化量のxの変化量に対する割合が4で、
yの変化量のtの変化量に対する割合が3だとしましょう。
すると、xが1変化するのに対してyは12変化します。
dt/dx = 4
dy/dt = 3
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なお、
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3回微分は、d(d(dy/dx)/dx)/dx
ということになりますが、これでは見にくいので。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

こんばんは。

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たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
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すなわち、
lim(x→0) f '(x) が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x) が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
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 =lim(n→∞) (2/(2nπ+π/2))=0
よって、lim(n→∞) f '(An)≠lim(n→∞) f '(Bn)
「 」の定理の対偶を考えると、
lim(x→0) f '(x) が存在しない
ことが分かりますね。

ところでoodaiko先生に質問したいのですが。

>lim_{x→0} ( 2x sin (1/x) - cos (1/x))
>= lim_{x→0} 2x sin (1/x) - lim_{x→0} cos (1/x)

の部分です。
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立つのは
lim f(x)、lim g(x)がそれぞれ存在するとき
ですよね。でもlim_{x→0} cos (1/x) は存在しない・・・
実は私が読んでいた本でもoodaiko先生のように証明しているんです。
何か特殊な事情でもあって、この場合は例外的に
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立っているのでしょうか。

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x) が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x) が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ)、Bn=1/(2nπ+π/2) としますと
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dxの部分も2回掛かっているのでdx^2なんですが
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これはそう決めたからなんです
ある程度覚えるしかないです