円錐曲線を描く質点の、動径方向と方位角方向の運動方程式

   m{d^2r/dt^2-r(dφ/dt)^2}=f(r) ・・・1)
   m(1/r)・d/dt(r^2・dφ/dt)=0    ・・・2)

2)より角運動量保存則が導けるので

     r^2・dφ/dt=h(一定)

とすると、これより

     d/dt=(h/r^2)d/dφ     ・・・3)

とすることができdtが消去できる。
 問題はここからなんです。

 ここで、1/r=zとして1)式をzの式に変換する際、どうしても

     (dz/dφ)^2

の項を消すことができず、

     d^2z/dφ^2-(2/z)(dz/dφ)^2+z=-f(1/z)/mh^2z^2

になってしまいます。
因みに答えは

     d^2z/dφ^2+z=-f(1/z)/mh^2z^2

です。
それから ^2 は二乗の意です。
だれか教えてください。お願いいたします。

A 回答 (2件)

主要部分のみ計算します。


dをφでの微分とします。
3)式にあるように、d/dt=(h/r^2)d なので
1式の左辺1項目は
mh^2z^2(d(z^2(d(1/z)))
となります。
問題はd(z^2(d(1/z)))の部分です。
これを計算してみます。
d(z^2(d(1/z))) = d(z^2)d(1/z)+z^2d^2(1/z)
        = 2z(dz)(-1/z^2)(dz)+z^2d^2(1/z)
ここで、
d^2(1/z)=d(d(1/z))
    =d(-1/z^2(dz))
    =2/z^3(dz)^2-(1/z^2)d^2z
よって、
d(z^2(d(1/z))) = 2z(-1/z^2)(dz)^2+z^2(2/z^3(dz)^2-(1/z^2)d^2z)
        = 2/z(dz)^2+2/z(dz^2)-(1/z^2)d^2z
        =-(1/z^2)d^2z.

で、(dz/dφ)^2は相殺しています。
読みにくくてすみません。ノートに書いてチェックしてみてください。
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この回答へのお礼

なるほど、納得しました。
詳しい計算までしてくださって、
丁寧な回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/05/24 04:35

詳しい計算は nikorin さんがされていますが


darah さんがミスされているところは
 d/dt=(hz^2)d/dφ
が成り立つことから
 d^2/dt^2=(hz^2)d/dφ{(hz^2)d/dφ}
のようにせずに
 d^2/dt^2=(hz^2)^2(d/dφ)^2
としてしまったところですね。
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この回答へのお礼

ご指摘どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/05/24 04:36

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