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ΔABCで、sinA:sinB:sinC=7:5:3のとき、面積は15√3
です。3辺を求めなさい。と問題にはあります。

A 回答 (3件)

では、三平方の定理を用いた解き方で説明しますね。



頂点Bから辺ACに下ろした垂線の長さをHとおきます。
同様に、頂点Cから辺ABに下ろした垂線の長さをhとおきます。
そうすると、
sinA=H/AB、sinB=h/BC、sinC=H/BC 
sinA=h/AC 
と、表せます。
条件より、sinA:sinB:sinC=7:5:3なので、

sinA:sinC=H/AB:H/BC=7:3 この式の両辺にAB・BCをかけて、AB:BCの比を求めると、
BC=AB=7:3 とわかります。
同様に、
sinA:sinB=sinA=h/AC:h/BC=7:5 より
BC:AC=7:5 とわかります。

ここで三辺を比で表してみると、
BC:AC:AB=7:5:3 になるので、
BC=7X、AC=5X、AB=3X (X>0)とおくことにします。

■ここから、ヘロンの公式を使わないで問題を解きます。
三角形の面積をSとおくと、
S=AB・AC・(sinA)÷2
 =AB・AC・H÷AB÷2  (←sinA=H÷AB)
 =AC・H÷2
 =5X・H÷2  (←AC=5x)   ---------(★1式)
とかけます。

次に、△ABCにおいて、頂点Bから辺ACに下ろした垂線と辺ACとの交点をDとおくと、
AC=AD+DC と書くことができます。
ここでBD=Kとおくと、
AD=AC-K=5x-K とかけます。

このとき、△ABDと△BCDはどちらも直角三角形なので、それぞれの直角三角形において、三平方の定理を用いて
(Hの2乗)=(ABの2乗)-(ADの2乗) (←直覚三角形ABDに着目)
=(3X)^^-(5X-K)^^   ※「^^」は2乗を表す

(Hの2乗)=(BCの2乗)-(CDの2乗) (←直覚三角形BCDに着目)
=(7X)^^-K^^

上の2式より、
(3X)^^-(5X-K)^^=(7X)^^-K^^
と書け、これを展開してK=(13/2)X とわかる。

よって、
(Hの2乗)=(7X)^^-{(13/2)X}^^
=(27/4)X^^
∴H={(3√3)÷2}X   -------------------(★2式)

★1式に★2式を代入して、
S={(15√3)÷4}X^^
とかけ、条件より、S=15√3なので、

S={(15√3)÷4}X^^=15√3
上式を解いて、Xを求めると
X=2 と求まる。

X=2とわかったので、BC=7X、AC=5X、AB=3X (X>0)より
BC=14、AC=10、AB=6

が導き出せる。

(終了)

こういう解き方もあります。
ヘロンの公式を使った解き方もあるということですね。(さらに他にも解き方があるでしょうね)
どちらで解くかは、好みの問題かなぁと思います。
どちらの解き方も思い浮かぶというのが一番良いでしょうね。
ちなみに、私が高校生の時はヘロンの公式を使っていたと思います。
ある意味、裏テク的な公式かもしれません。でも、便利です^^。

以上
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この回答へのお礼

わざわざありがとうございます。こういうとき方もあるんですね。勉強になりました。

お礼日時:2004/03/08 01:43

御答えしますね。


ゆっくり、図を書きながら読んでみて下さい。

頂点Bから辺ACに下ろした垂線の長さをHとおきます。
同様に、頂点Cから辺ABに下ろした垂線の長さをhとおきます。
そうすると、
sinA=H/AB、sinB=h/BC、sinC=H/BC 
sinA=h/AC 
と、表せます。
条件より、sinA:sinB:sinC=7:5:3なので、

sinA:sinC=H/AB:H/BC=7:3 この式の両辺にAB・BCをかけて、AB:BCの比を求めると、
BC=AB=7:3 とわかります。
同様に、
sinA:sinB=sinA=h/AC:h/BC=7:5 より
BC:AC=7:5 とわかります。

ここで三辺を比で表してみると、
BC:AC:AB=7:5:3 になるので、
BC=7X、AC=5X、AB=3X (X>0)とおくことにします。

次に、三辺の関係が分かったので、ここでヘロンの公式を使います。
ヘロンの公式という便利な公式は覚えておくと便利です。
私も高校生の時には、お世話になりました。
■ヘロンの公式について(参考URLより)
  三角形の三辺の長さa、b、c が分かっている時、三角形の面積Sは、
    r=(a+b+c)÷2 とおくと
    S=√{r(r-a)(r-b)(r-c)} と表せます。

この問題でヘロンの公式を使うと、次のようになります。
r=(3x+5x+7x)÷2=15x/2
S=√{r(r-3x)(r-5x)(r-7x)}
 ={15・(Xの2乗)/4}・√3 
となり、
ここで、条件より面積は15√3 なので、

{15・(Xの2乗)/4}・√3=15√3
(Xの2乗)=4
∴X=2(X>0)

これを BC=7X、AC=5X、AB=3X  に代入して
BC=14、AC=10、AB=6
とわかります。

(終了) 

参考URL:http://yosshy.sansu.org/heron.htm

この回答への補足

申し訳ないのですが、ヘロンの公式以外で解く方法はないのでしょうか?なければこのままヘロンの公式を使ったものでありがたいです。

補足日時:2004/03/07 19:26
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この回答へのお礼

お答えありがとうございます。
ヘロンの公式は知らないのですがわかりやすく
書かれてあってよかったです。

お礼日時:2004/03/07 19:09

ヘロンの公式を使う方法ですね。


面積=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}
sは三角形の周の長さの半分

sinA:sinB:sinC=7:5:3
なので、それぞれの辺は実数t(tは正)とすると、
a=7t,b=5t,c=3t
よってsは
s=(a+b+c)/2=(7t+5t+3t)/2=15t/2
ヘロンの式より
15√3=√{7.5t(7.5t-7t)(7.5t-5t)(7.5t-3t)}

15√3=15√3*t^2/4
t^2=4
tは正なので
t=2
よって、3辺は
14,10,6

参考URL:http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/her …
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
ヘロンの公式を使うとあるんですが、
ヘロンの公式を習ったかどうか…。
とりあえずこの方法でいってみます。

お礼日時:2004/03/07 19:06

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