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(ν+1/2)hν、ν=(1/2π)(k/m)^(1/2)をボルツマン分布式に代入して調和振動子の平均エネルギーを求めよという問題があるのですが、調べてはいるのですが、どのボルツマン分布の式に入れれば、エネルギーが求まるのかがどうしてもわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか?

A 回答 (1件)

m番目の準位のエネルギーをEmとすれば、温度Tにおけるエネルギーの平均値<E>は



 <E> = ΣEm exp(-Em/kT) / Σexp(-Em/kT)

で与えられます(kはボルツマン定数)。調和振動子なら、Em=hν(m+1/2)を代入して、分母と分子の和を それぞれm=0,1,2,...,∞までとればいいです。

がんばって下さい。
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この回答へのお礼

お返事が遅くなって申し訳ありません
ありがとうございました
すごく助かりました!

お礼日時:2013/04/01 22:03

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Q熱物理学で調和振動子の平均エネルギーU=<ε>について。

熱物理学で調和振動子の平均エネルギーU=<ε>について。

U=hω/(exp(hω/τ)-1)はどうやって求めるのでしょうか?

解りません。調和振動子なので、縮退度は1、エネルギーE=(0,1,2,・・∞)分配関数Z=1/(1-exp(-hω/τ))ですよね?

Aベストアンサー

ANo.1さんのご回答で良いと思いますが、詳しく説明してみますね。

調和振動子のエネルギーは普通は、

ε(n) = hω ( n + 1/2 )

ですが、結果の式から逆算して、零点振動のエネルギー hω/2 を考えないことにしているみたいですね。そこで、

ε(n) = hω n

で考えます。(n = 0,1,2,… ∞、h は hバーの意味)

正準分布で、その実現確率 p(ε) は、

p(ε) = e^{-ε/τ}/Z = e^{-βε}/Z

になります。β=1/τ=1/(k_B T)

Z = Σ_{n=0}^{∞} e^{-ε(n)/τ}
= 1/(1 - exp(-hω/τ)) = 1/(1-exp(-βhω))

は分配関数です。

調和振動子の平均エネルギーは、

U = <ε> = Σ_{n=0}^{∞} ε(n) p(ε(n))

となるのは良いですね。確率と期待値の関係です。

正準分布の確率の式を代入すると、

U = (1/Z) Σ_{n=0}^{∞} ε(n) exp(-βε(n))
 = - (1/Z) ∂/∂β [Σ_{n=0}^{∞} exp(-βε(n))]
 = - (1/Z) ∂Z/∂β
 = - ∂(log Z)/∂β

と書けます。これがANo.1さんのご回答にある式です。
よく使う式なので覚えておくとよいです。

そして具体的に代入してみると、

U = ∂/∂β log(1-exp(-βhω))
 = +hω exp(-βhω)/(1-exp(-βhω))
 = hω/(exp(-βhω)-1)

と求まります。

ANo.1さんのご回答で良いと思いますが、詳しく説明してみますね。

調和振動子のエネルギーは普通は、

ε(n) = hω ( n + 1/2 )

ですが、結果の式から逆算して、零点振動のエネルギー hω/2 を考えないことにしているみたいですね。そこで、

ε(n) = hω n

で考えます。(n = 0,1,2,… ∞、h は hバーの意味)

正準分布で、その実現確率 p(ε) は、

p(ε) = e^{-ε/τ}/Z = e^{-βε}/Z

になります。β=1/τ=1/(k_B T)

Z = Σ_{n=0}^{∞} e^{-ε(n)/τ}
= 1/(1 - exp(-hω/τ)) = 1/(1-exp(-βhω))

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