2次関数の最大最小

関数f(x)=x^2-2kx+1/2について。

0≦x≦1であるすべてのxについて、0≦f(x)≦1が成り立つようなkの値の範囲を求めよ。
という問題です。

平方完成とか基本的なところは大丈夫です。
ただ、問題の0≦f(x)≦1が成り立つ…
この問題の意味が分かっていません。

解答方法よろしくおねがいしますm(__)m

No.3 ベストアンサー 回答者： akeshigsb 回答日時： 2013/03/26 22:54

元塾講師です。

　細かい数値は他の方が書かれているので簡略に考え方だけ書きます。
　まず、2次関数ですが、単純に考えて「U・Vみたいな形」というのは理解していますよね？またX＾２の係数がマイナスの時はそれが逆になることも知っていますよね？（⋀みたいになるということ）
　今回は係数がプラスなのでそれを基本に書きます。
　まず、こうした問題のつまずきで多いのが0≦f(x)≦1が何を表しているかです。これは実は（0≦x≦1では）f(x)の値つまりY座標が0以上1以下であるということです。こうした数式の読み方が分からない人が多いので書きました。

　次に、2次関数の典型問題の解説です。f(x)の最小値は通常頂点です。通常と書いたのには理由があります。
・もし仮に頂点が1より大きければ、この関数は0≦x≦1では減少関数になります（xが大きくなればf(x)の数値gが小さくなる）。
・逆に０より小さければ増加関数になります。

　また更にややこしいのが、頂点（今回はX座標はKです）が0≦x≦1でも、祖の中点である1/2より大きいか小さいかで事情が違います。
・頂点が1/2より小さければ最小点はKですが、最大点はX=１です。
・頂点が1/2より大きければ最小点はKですが、最大点はX=0です。
これは2次関数の対称性が理由で頂点から遠いところの方が値が大きくなるからです。

　こうしたかなり複雑な場合わけが必要なんです。2次関数とはどんなものでどんな性質があるかちゃんと勉強した人だけが解ける問題なので結構入試問題には出題されます（センターは必出）。
ご参考までに。

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/03/26 09:35

＞y=x^2-2kx+1/2=(x-k)^2+1/2-k^2

このグラフは軸がx=k、極小点が(k,1/2-k^2)の二次曲線。
点O(0,0)、点A(1,0)、点B(1,1)、点C(0,1)としたときに、
この二次曲線が線分OC及び線分ABと交差し、かつ、線分
OAと交差しないときに、0≦x≦1であるすべてのxについて
0≦y=f(x)≦1となるので、その条件を考えると、
x=0のときのyの値、すなわちf(0)が0≦f(0)≦1・・・・・(1)
x=1のときのyの値、すなわちf(1)が0≦f(1)≦1・・・・・(2)
グラフの軸x=kが0≦k≦1の場合の極小値1/2-k^2が
0≦1/2-k^2・・・・・(3)となる。
f(0)=1/2だから(1)はkの値にかかわらず成り立つ。
f(1)=1-2k+1/2=3/2-2k、(2)から0≦3/2-2k≦1
-3/2≦-2k≦1-3/2=-1/2、1/2≦2k≦3/2、1/4≦k≦3/4・・・・・(4)
(3)からk^2≦1/2、-1/√2≦k≦1/√2、-√2/2≦k≦√2/2・・・・・(5)
(4)と(5)の共通範囲は1/4≦k≦√2/2・・・答

No.1 回答者： t-yamada_2 回答日時： 2013/03/26 03:30

まずf(x)=x^2-2kx+1/2 に 0≦x≦1 を代入します。

　　
　　x=0を代入してみると
　　x^2-2kx+1/2 ⇒ 0-0+1/2= 1/2（一定値になるし、0≦f(x)≦1の条件も成立）
　　
　　x=0の時はいくらkを変えても1/2にしかならないので問題に関係しなくなります。
　　なので次にx=1を代入してみると
　　1^2-2k*1+1/2 ⇒ 3/2-2k
　　となり f(x)=3/2-2kという式ができます。
　　そこで0≦f(x)≦1なのだからまた代入してみると
　　
　　f(x)=0で
　　0=3/2-2k　⇒ k=3/4

　　f(x)=1で
　　1=3/2-2k　⇒ k=1/4

　　よって　1/4≦k≦3/4

■試しに1/4≦k≦3/4の式を確認してみますね。
　　k=1/4なら　f(x)=x^2-2kx+1/2　⇒　f(x)=x^2-x/2+1/2
　　0≦x≦1を代入してみると
　　f(0)=1/2　、　f(1)=1

　　k=3/4なら　f(x)=x^2-2kx+1/2　⇒　f(x)=x^2-(3x)/2+1/2
　　0≦x≦1を代入してみると
　　f(0)=1/2　、　f(1)=0

　　一応 0≦f(x)≦1 になりました。