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範囲はこれで与えられています。x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2<=1
x=a*r*sinθcosλ
y=b*r*sinθsinλ
z=c*r*cosθ とおきました。rは0から1まで、θは0からpiまで、λは0から2piまでだと思います。ヤコビアンはabcr^2sinθになります。それを普通に積分していたのですが、答えが合わなかったのです。私のやり方が正しいかどうかだけを教えてほしいです。
よろしくおねがいします

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A 回答 (1件)

a>0,b>0,c>0として


∫∫∫{x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2<=1}(x^2+y^2+z^2)dxdydz
=∫∫∫{0≦r≦1,0≦θ≦π,0≦λ≦2π}  
 (r^2)abc(r^2)sinθdrdθdλ
=abc∫{0≦λ≦2π}dλ*∫{0≦θ≦π}sinθdθ
*∫{0≦r≦1}r^4 dr

>私のやり方が正しいかどうかだけを教えてほしいです。

上のような積分になれば合っています。

>答えが合わなかった。
答えまでの計算が書いてないので、答えまでの途中計算はチェックできません。

正しく計算すれば
=(4/5)πabc
となります。
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^」に関するQ&A: e^(-x^2)の積分

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Q三重積分の解き方

問題は

D:x^2+y^2+z^2≦a^2(但しaは正の定数)
とするとき、
∫∫∫D 1/(x^2+y^2+(z-2a)^2)dxdydz
の値を求めよ。

です。

積分の仕方が少しわかりませんでした。
一生懸命考えてみたのですが、積分で詰まりました。
もしわかる人がいましたら教えてください。

Aベストアンサー

半径 a の球内についての積分ですから,極座標を使う一手でしょう.

x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosφ
として,積分範囲は
0≦r≦a
0≦θ≦π
0≦φ≦2π
体積要素が
dx dy dz ⇒ r^2 sinθ dr dθ dφ
ですから,被積分関数を r,θ,φ で表して,結局
(1)  ∫∫∫{r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
を計算すればいいことになります.
φは(1)の被積分関数に含まれませんから因子 2π を与えるだけで
(2)  2π∫∫r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
を求めればOKです.
先にθの積分をやります.
いい具合に t = cosθ と置いたときの dt = - sinθ dθがちょうど分子にあります.
したがって,本質は ∫dy/(by-c) のタイプの積分で,
(2)  (1/2)πr {log(2a+r) -log(2a-r)}
あとは(2)を r について 0 から a まで積分すればよく
(本質的には ∫y log (by+c) dy のタイプの積分),
(3)  2πa{1 - (3/4) log(3)}
が最終的結果です.

本質的に難しい積分はありませんが,
項をまとめたりするときに私が計算ミスをしている可能性もあります.
チェックもよろしく.

半径 a の球内についての積分ですから,極座標を使う一手でしょう.

x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosφ
として,積分範囲は
0≦r≦a
0≦θ≦π
0≦φ≦2π
体積要素が
dx dy dz ⇒ r^2 sinθ dr dθ dφ
ですから,被積分関数を r,θ,φ で表して,結局
(1)  ∫∫∫{r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
を計算すればいいことになります.
φは(1)の被積分関数に含まれませんから因子 2π を与えるだけで
(2)  2π∫∫r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
を求めればOKです.
先にθ...続きを読む

Q【三重積分】球の体積の求め方

x=rsinθcosω
y=rsinθsinω
z=rcosθ

上記の変数変換を使った三重積分で球の体積を求める時、θの範囲が0≦θ≦πとなるのはなぜでしょうか?(ωの範囲は0≦ω≦2πとなるのに、なぜθは0≦θ≦2πにはならないのでしょうか。)

Aベストアンサー

参考URLの例5の図を見てください。球座標の図があると思います。ω=φと置き換えてください。点PをP(x、y、z)とします。球の体積を考えるのでrは一定です。

θはz軸の正の方向とベクトルOPのなす角です。例えばP(0,0、r)のときはθ=0、P(0,0、-r)のときはθ=πです。0≦ω≦2π、0≦θ≦π、rは一定とすればxyz空間に半径rの球が描けることが分かるかと思います。

参考URL:http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/geomath/juusekibun.html

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む

Q重積分を使って曲面積を求める問題でわからないところがあります。

重積分を使って曲面積を求める問題でわからないところがあります。
球面x^2+y^2+z^2=a^2の円柱x^2+y^2=axで切りとられる部分の曲面積を求めよ(a>0)
自分の解法は
 z(>0)について解いてz=√(a^2-x^2-y^2),積分領域D:x^2+y^2<=axの上にある曲面積を2倍して
Zx=-x/(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/(a^2-x^2-y^2)より
求める曲面積s=2∬D √(1+Zx^2+Zy^2)dxdy
ここでx=rcosθ,y=rsinθと置くとJ=r,積分領域DはM:0<=r<=acosθ,-π/2<=θ<=π/2
S=∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ
=2a^2[θ+cosθ](-π/2→π/2)=2a^2π となったのですが、解答は
D:x^2+y^2<=a^2,y>=0の上にある曲面積を4倍して求めていて、
S=4∫∫D a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy
ここでx=rcosθ,y=rsinθと置いて、M:0<=r<=acosθ,0<=θ<=π/2
S=4∫(0→π/2)∫(0→acosθ)r/√(a^2-r^2)drdθ
=4a^2[θ+cosθ](0→π/2)=4a^2(π/2-1)

となって答えが違ってしまうのですが、何故だかわかる方がいたら助けてください。

重積分を使って曲面積を求める問題でわからないところがあります。
球面x^2+y^2+z^2=a^2の円柱x^2+y^2=axで切りとられる部分の曲面積を求めよ(a>0)
自分の解法は
 z(>0)について解いてz=√(a^2-x^2-y^2),積分領域D:x^2+y^2<=axの上にある曲面積を2倍して
Zx=-x/(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/(a^2-x^2-y^2)より
求める曲面積s=2∬D √(1+Zx^2+Zy^2)dxdy
ここでx=rcosθ,y=rsinθと置くとJ=r,積分領域DはM:0<=r<=acosθ,-π/2<=θ<=π/2
S=∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ
=2a^2[θ+cosθ](-π/2→π/2)=2a^2π ...続きを読む

Aベストアンサー

>Zx=-x/(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/(a^2-x^2-y^2)より
間違い。
Zx=-x/√(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/√(a^2-x^2-y^2)

>求める曲面積S=2∬[D] √(1+Zx^2 +Zy^2)dxdy
>ここでx=rcosθ,y=rsinθと置くと|J|=r,
>積分領域DはM:0<=r<=acosθ,-π/2<=θ<=π/2
>S=∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ
S=2∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ
=2a∫(-π/2→π/2)[-√(a^2-r^2)](r:0→acosθ)dθ
=2(a^2)∫(-π/2→π/2)(1-|sinθ|)dθ

>=2a^2[θ+cosθ](-π/2→π/2)=2a^2π となったのですが、
間違い。√(1-(cosθ)^2)=|sinθ|とすべき所を =cosθとして間違った。
=2(a^2)∫(-π/2→π/2)(1-|sinθ|)dθ
偶関数の対称区間での積分なので
=4(a^2)∫(0→π/2)(1-sinθ)dθ
=4(a^2)[θ+cosθ](θ:0→π/2)
=4(a^2){(π/2)-1}
これは解答と一致しています。

>解答は
>D:x^2+y^2<=a^2,y>=0の上にある曲面積を4倍して求めていて、
>S=4∫∫D a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy
>ここでx=rcosθ,y=rsinθと置いて、M:0<=r<=acosθ,0<=θ<=π/2
>S=4∫(0→π/2)∫(0→acosθ)r/√(a^2-r^2)drdθ
>=4a^2[θ+cosθ](0→π/2)=4a^2(π/2-1)

>となって答えが違ってしまう
θ:-π/2~π/2のとき
√{1-(cosθ)^2}=|sinθ|
上のθの範囲ではsinθは正にも負にもなります。それを単に「sinθ」としてしまったのが
間違いの原因ですね。
θ<0では √{1-(cosθ)^2}=-sinθ
θ>0では √{1-(cosθ)^2}=sinθ
としないといけません。

>Zx=-x/(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/(a^2-x^2-y^2)より
間違い。
Zx=-x/√(a^2-x^2-y^2), Zy=-y/√(a^2-x^2-y^2)

>求める曲面積S=2∬[D] √(1+Zx^2 +Zy^2)dxdy
>ここでx=rcosθ,y=rsinθと置くと|J|=r,
>積分領域DはM:0<=r<=acosθ,-π/2<=θ<=π/2
>S=∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ
S=2∫(-π/2→π/2)∫(0→acosθ)ar/√(a^2-r^2)drdθ
=2a∫(-π/2→π/2)[-√(a^2-r^2)](r:0→acosθ)dθ
=2(a^2)∫(-π/2→π/2)(1-|sinθ|)dθ

>=2a^2[θ+cosθ](-π/2→π/2)=2a^2π となったのですが、
間違い。√(1-(cosθ)^2)=|sinθ|とすべき所を =cos...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q∬1/√(x^2+y^2)dxdy を求めよ。

∬1/√(x^2+y^2)dxdy を求めよ。
積分範囲は、1=<x^2+y^2=<4,x>=1,y>=0
次のようにやってみました。
∫[1->2]{∫[0->√(4-x^2)]1/√(x^2+y^2)dy}dx
=∫[1->2]{log(y+√(y^2+x^2)}[0->√(4-x^2)]dx
=∫[1->2]{log(√(4-x^2)+2)-logx)dx
となりました。ここからxについての積分ができません。
アドバイスをお願いします。

Aベストアンサー

このような形の積分は極座標変換するのが一般的かと思います。

D={(x,y)|1≦x^2+y^2≦4,0≦x,0≦y}.

x=rsin(θ).
y=rcos(θ).

この変数変換のヤコビアンは、r。

dxdy=rdrdθ.
積分領域DはE={(r,θ)|1≦r≦2,0≦θ≦π/4}に変わる。

∬[D]dxdy/(x^2+y^2)
=∬[E]drdθ/r
=∫[0,π/4]dθ∫[1,2]dr/r}
=πlog(2)/4.

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q球と円柱の共通部分の体積

「原点を中心とする半径Rの球x^2+y^2+z^2=R^2と半径R/2の円柱x^2+y^2≦Rxの共通部分の体積を求めよ。」
この問題ののアプローチが分かりません。
どういう状態なのかをイメージすることができますが、具体的に計算で体積を求めるにはどういった解法を用いるのか、ひらめきません。
分かる方、指南よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

体積Vは、共通部分は、底面[D] x^2+y^2≦Rx、0≦y、でz方向に0→√(R^2-x^2-y^2)だから、
V=∫∫[D] √(a^2-x^2-y^2) dxdy

極座標変換すると、
x=rcosθ=(R/2)+(R/2)cos(2θ)
y=rsinθ=(R/2)sin(2θ)
r=√(x^2+y^2)=√{(R^2/2)+(R^2/2)cos(2θ)}=Rcosθだから、
r:0→Rcosθ、θ:0→+π/2、dxdy=rdrdθ より、
V/4=∫[0→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] √(R^2-r^2) rdr
=(1/3)∫[0→π/2] {R^3-R^3(sinθ)^3}dθ=(1/3)(π/2-2/3)R^3
4倍して、
V=(4/3)(π/2 -2/3)R^3
={(2/3)π-(8/9)}R^3

(参考URL)以下の過去の質問でa→Rと置き換えて下さい。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1354059158

参考URL:http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1354059158

体積Vは、共通部分は、底面[D] x^2+y^2≦Rx、0≦y、でz方向に0→√(R^2-x^2-y^2)だから、
V=∫∫[D] √(a^2-x^2-y^2) dxdy

極座標変換すると、
x=rcosθ=(R/2)+(R/2)cos(2θ)
y=rsinθ=(R/2)sin(2θ)
r=√(x^2+y^2)=√{(R^2/2)+(R^2/2)cos(2θ)}=Rcosθだから、
r:0→Rcosθ、θ:0→+π/2、dxdy=rdrdθ より、
V/4=∫[0→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] √(R^2-r^2) rdr
=(1/3)∫[0→π/2] {R^3-R^3(sinθ)^3}dθ=(1/3)(π/2-2/3)R^3
4倍して、
V=(4/3)(π/2 -2/3)R^3
={(2/3)π-(8/9)}R^3

(参考URL)以下の過去の質問でa→Rと置き換えて下さい。
http://...続きを読む

Q3重積分 楕円体での変数変換

3重積分において普通の球座標の変数変換は理解できるのですが
 
D{ (x,y,z) | 楕円体 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1 (a,b,c>0) }

で x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが
球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください

Aベストアンサー

>x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが
球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください.。 ←間違い。
正しくは
「x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθと変換しますが
球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθにa,b,cがつく理由を教えてください.。」

楕円体だからに決まってるじゃないですか.?

つまり、
積分変数を独立した(直交する座標)変数(r, θ, φ)に変換して、変換後の3重積分を独立した直交座標変数による逐次積分(累次積分)に持ち込むためでしょう。
この場合、積分領域Dは
 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1にx=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθを代入すると 左辺=r^2となって 楕円体の領域の式が 「r^2≦1」とrだけの簡単な領域の式に変形され、
D'= { (r, φ, θ) | r^2≦1, 0≦φ<π, 0≦θ≦π }
 = { (r, φ, θ) | 0≦r≦1, 0≦φ<π, 0≦θ≦π }
となります。(結果として煩わしいa,b,cが3重積分の外に括り出せます。)

>x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが
球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください.。 ←間違い。
正しくは
「x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθと変換しますが
球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθにa,b,cがつく理由を教えてください.。」

楕円体だからに決まってるじゃないですか.?

つまり、
積分変数を独立した(直交する座標)変数(r, θ, φ)に変換して、変換後の3重積分を独立した直交座標変数による逐次積分(累次積分)に持ち込むた...続きを読む


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