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角度を求める問題で、DEに補助線を引いてと考えたのですが、
うまく求まりません。
アドバイスをお願いします。

「図形(正方形) 角度を求める問題です」の質問画像

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A 回答 (6件)

ヒントです


三角形BCEを反転して辺BDに付けて三角形BC'Dを作ります
そこでCとC'に線を引き正三角形BCC'をつくります
三角形C'CEは二等辺三角形
また対称図形を作ったことにより辺DEと辺CC'は平行ですので
錯角を利用すれば出てくると思います
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この回答へのお礼

理解し、答えが出ました。
ありがとうございます。

お礼日時:2013/04/07 14:34

No.5さんの回答が一番よいですね.


対称性を作り出すことで問題が簡単になりました.
添付したような図を描いて角度を書き込めば求まります.
正方形の中で左右対称な部分や正三角形が表れています.
「図形(正方形) 角度を求める問題です」の回答画像6
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この回答へのお礼

図、ありがとうございます。
わかりやすいです。

お礼日時:2013/04/07 14:33

いろんな解法があるのでしょうが強引に計算する方法でやりました。



三角形BDEは二等辺三角形、DEの中点をGとするとBGはDEに垂直は∠EBG=∠DBG
∠DBC=45°、∠CBE=15°よって∠EBG=∠DBG=15°
∠GDB=∠GEB=75°
EG=GD=BDcos75°, BG=BDsin75°
正方形の一辺をaとすると
BD=√2a
cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30=(√3-1)/2√2
sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30=(√3+1)/2√2
よって
EG=(√3-1)a/2, BG=(√3+1)a/2

点EからBCに垂線を下しその足をHとすると⊿EBG≡⊿EBH
⊿ECHにおいて
EH=EG=(√3-1)a/2
CH=BH-BC=BG-BC=(√3+1)a/2-a=(√3-1)a/2
よって
EH=CH(⊿ECHは直角二等辺三角形,∠HEC=45°)
x=∠HEB-∠HEC=75°-45°=30°
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
いろいろなアプローチ、数学面白いですね。

お礼日時:2013/04/06 18:00

出かけるのでヒントだけもう少し出しておきます.



1.三角定規の辺の長さの比と正方形であることを使う.
2.結局△CFEと△DFBは相似とわかります.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
頭が固くなってきてなかなかひらめきませんが、解いてみます。

お礼日時:2013/04/06 17:45

DEに補助線を引いて,二等辺三角形ができたら,つぎに長さについて考えて相似の三角形を探しましょう.


105=45+60がヒントです.
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二等辺三角形を作りましょう.


対角線であることを意識しましょう.

この回答への補足

DEに補助線を引き、2等辺三角形を作り
角度を求めていくと、∠FCEがどうしても出てこず
xまでたどり着かない状態です。
アプローチが違うのでしょうか?

補足日時:2013/04/06 17:25
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
やってみます

お礼日時:2013/04/06 17:13

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Q超難問、角度問題です。エレガントな解法が出来ません。

下の図で、xの角度を求める図形問題です。
以前、このサイトで質問が有った図形を、焼き直して掲載します。

三角関数を使ってゴリゴリやると、答えに行く付きますが、図形を使ったエレガントな解法に至りません。

9点円を使う解法もあるのですが、とてもエレガントとは言えません。

どなたか、上手い方法を発見してご教授下さい。

Aベストアンサー

#10です。

> C,E,P,Fは同一円の円周上の点でした(円周角の定理の逆)
∠ECP=∠EFP ですからC,E,P,Fの4点は同一円の円周上にあります。
円周角の性質として
https://ja.wikibooks.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6_3%E5%B9%B4%E7%94%9F-%E5%9B%B3%E5%BD%A2/%E5%86%86%E5%91%A8%E8%A7%92
の下の方にある「円周角の定理の逆」の項にこの説明があります。


> が②の円周角の2倍だから、Cが円の中心で有ると言う論法は乱暴だと思います。
>  下図の通り、2倍=中心点という保証が有りません。
小生②の前半ではCを使っていません。円の中心として定義したQを使っています。
その後QとCが重なることを証明したつもりなのですが・・・
要点を書くと・・・

step1 G、B、Fの3点を通る円の中心をQとします。
 ∠BGFはこの円の円周角であり、角度は40゚です。
 ならばこの円の中心角 ∠BQFの角度は 80゚ です。(ここまでCは使っていません)
step2 つまりこの円の中心はB、Fから等距離にあって、80゚の角度を成す点です。
 この2つの条件を満たす点はCと、CをBFで折り返した点の2箇所となります。
 しかしGとの距離を考えれば後者は不適なので QはCと同一点になります。

<step2の別な証明 △BQF と △BCF の合同から導く >
G、B、Fの3点を通る円の中心をQと決めたので BQ=FQ であり、△BQFは二等辺三角形です。
上のstep1より ∠BQF=80゚ ですから2つの底角は共に50゚です。
次に△BCFで、#10の解の①より ∠CBF=∠CFB=50゚ ですから ∠BCF=80゚になります。
この2つの三角形において、辺BFは共通であり、対応する3つの角はすべて等しいので両者は合同です。
すなわちQはCと重なるか、BFに対してCの対称点となりますが後者は不適です。
因ってQとCは同一点です。

如何でしょう? 気になるところがあればご指摘ください。

#10です。

> C,E,P,Fは同一円の円周上の点でした(円周角の定理の逆)
∠ECP=∠EFP ですからC,E,P,Fの4点は同一円の円周上にあります。
円周角の性質として
https://ja.wikibooks.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6_3%E5%B9%B4%E7%94%9F-%E5%9B%B3%E5%BD%A2/%E5%86%86%E5%91%A8%E8%A7%92
の下の方にある「円周角の定理の逆」の項にこの説明があります。


> が②の円周角の2倍だから、Cが円の中心で有ると言う論法は乱暴だと思います。
>  下図の通り、2倍=中心点という保証が有りません。...続きを読む

Q中学数学の図形の角度を求める問題です

次の問題が分かりませんでした
どなたかお力添えを頂けると助かります。


下の図で四角形ABCDはAD//BCの台形
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∠DCEの大きさは何度か


という問題です
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

AB//DEの錯角より∠BAE=∠AED=34°
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△ABE≡△DEC(合同条件は2辺と・・・、証明はしてね。)より
∠DCE=∠AEB=66°となるのかな。

Q角度の問題です。合同な正方形を3つ横につないで長方形ABCDをかきます

角度の問題です。合同な正方形を3つ横につないで長方形ABCDをかきます。線BC間の3等分点をE,FとしDからB,E,Fへ直線をひきます。角DBC,角DEC,角DFCの和は何度になりますか。
絵を添付しましたが、正確にはかけていません。すみません。

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添付図で、
?BADと?EGDとは、両方とも直角三角形で、直角を成す角が1:3になっているので相似です。
よって、
∠ADB=∠GDE

∠DBC+∠DEC+∠DFC
=∠ADB+∠ADE+∠CDF
=∠GDE+∠ADE+∠CDF
=∠ADC=90°

Qラングレー問題(角度の問題の難問)を補助線なしで解きたい

いつもお世話になっています。

チェバの定理というものがあります。
それはΔABCの内部(一般には外部でもいいですが、とりあえず内部に限定)にPをとります。
各頂点からPに線を引き、対辺を分割します。
すると、
http://ja.wikipedia.org/wiki/チェバの定理
にあるような関係が成りたちます。
それは、二組の辺の分割比が分かっていると、もう一組の辺の分割比が分かることを意味します。

次に、似たことを考えます。
同様にΔABCの内部にPをとります。
各頂点からPに線を引き、頂点の角度を分割します。
二組の頂点の分割比が分かっていると、原理的にはもう一組の頂点の分割比も定まります。
それを計算で求めたり、関係式を知りたいのです。

一般にそういったたぐいの角度の問題は、ラングレー問題といわれ、そして検索をすると、補助線を上手に使った解法がよく紹介されています。

たとえば、
http://www.geocities.jp/ha415713/tex/zuke-kakudo10.pdf
の角度を求める問題では、上手な補助点と、そして偶然にもある部分が正三角形になるために、角度が求まっています。

その問題を一般化した角度にしたとき、三角比などを使って、解くにはどうすればいいでしょうか?

適度な文字を使っていただければと思います。
または、上記のサイトの問題で、30度、101度などをくずさずに、最後までその数字のままで計算していただいてもいいと思います。
途中計算ははしょってもいいですので、結論だけでも知りたいです。

ある意味、きれいな関係式がないかもしれないので、参考になる情報やサイトだけでも教えていただきたいです。

いつもお世話になっています。

チェバの定理というものがあります。
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それは、二組の辺の分割比が分かっていると、もう一組の辺の分割比が分かることを意味します。

次に、似たことを考えます。
同様にΔABCの内部にPをとります。
各頂点からPに線を引き、頂点の角度を分割し...続きを読む

Aベストアンサー

No.3へのコメントについてです。
 公理系ってのは、たとえばチェバの定理を公理として採用したとする。これはすなわち「チェバの定理が成り立つような空間」というものを考える訳です。それがユークリッド空間と同じ物かどうかは証明を要することですし、座標が入れられるかどうかも、まだこれだけでは分からない。(もちろん、チェバの定理を公理にするためには、比だとか三角形などの概念が既に定義されていなくてはならない訳ですが。)

> 三角形を使った座標の有用な例はまだ知りません。

 平面上に(基底にはなっていない)3本の軸を持つ座標系は、正規直交の軸を持つ3次元空間を2次元平面(ax+bx+cz=0)に投影したもの、と捉えることもできます。ベクトル解析で言うと、3次元における直交系は2次元に投影されると「疑似直交系」という構造を持つんです。逆行列が作れないsingularな行列ばかり出て来るんですが、一般逆行列を利用するとちゃんと代数化できます。要するに、平面上だけの操作じゃ窮屈なんで、もっと自由に動ける空間で仕事をしておいて、最後に平面の話に落とし込むと見通しが良い、という仕掛けですね。もちろん、一般にn次元空間をm(m<n)次元に投影した座標系を考えることも出来ます。
 また、ある空間に対してisomorphismで写る双対空間を考えて、両者を同時に扱う幾何学も考えられます。得意なこと(簡単に計算できること)がちょうど相補的であるような二つの空間を行き来しながら、いろんな操作をしようという訳です。(超ひも理論の双対定理が証明されてブレークスルーと言われたのも、この話です。)この場合、一方の空間の対象と、他方の空間の対象との間に一種の内積を定義して「双直交系」を構成することもできます。さらに、先の投影の話と組み合わせて「双疑似直交系」にすることも可能です。
 これらの考え方は物理や工学で応用があるんですが、初等幾何学を系統的に扱う話は寡聞にして知りません。

> モデルとか計量を考えるのが現代的と思っています。

 非ユークリッド幾何と計量は大体同時期じゃないかなあ。計量は、局所的平面を自由に貼り合わせて曲がった空間を作るのに伴って必要になった。そして、幾何とは図形じゃなく、空間の性質をこそ研究するもんなんだ、という認識が現れたのも同じ頃でしょう。その意味で、初等幾何学(あくまで図形が対象)を考えるということ自体が「現代的」じゃない。でももちろん、そんな分類に頓着すべき謂れはありませんでしょ。

> ユークリッド原論のいう5つの公理的なものを意味するのであれば、それは現代では廃れている気もします。

 いやいや、廃れてないでしょ。形式主義的な表現に書き換えはしても。逆に言いますと、もし原論なんて廃れたと仰るのであれば、初等幾何学も廃れたのであり、ましてラングレー問題など過去の珍品でしかない、と仰るのでなくちゃ一貫性がないんじゃありませんか?

No.3へのコメントについてです。
 公理系ってのは、たとえばチェバの定理を公理として採用したとする。これはすなわち「チェバの定理が成り立つような空間」というものを考える訳です。それがユークリッド空間と同じ物かどうかは証明を要することですし、座標が入れられるかどうかも、まだこれだけでは分からない。(もちろん、チェバの定理を公理にするためには、比だとか三角形などの概念が既に定義されていなくてはならない訳ですが。)

> 三角形を使った座標の有用な例はまだ知りません。

 平面上に...続きを読む

Q図形の難問について

図形の難問について

この画像のような問題が、テストに出題されました。
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相似の学習内容を使わずに解く方法は無いのでしょうか?

また、直角三角形の高さを区切った比と、斜辺を同じ高さで区切った比は等しいのでしょうか?
(これも相似の考え方を使わずに考えられるのでしょうか?)

解答と解説が、テスト当日休んでいた人がいて、その人がテストを5教科分終えるまで渡されません。
しかし、今日(2010/05/14)が金曜日なので、月曜日まで渡されません。
答えが気になってしまい、他のことが手につきません。

ご回答よろしくお願いします。

問題文:

四角形ABCDは正方形である。
対角線BD上に点Eがあり、線分AEと辺BCをそれぞれ延長した直線の交点をF、線分AFと辺CDの交点をGとする。
ただし、BE>EDとする。
また、GD=CGで、CE=2EG(CE:EG=2:1)である。
このとき、四角形BCGEの面積は、正方形ABCDの何倍か?

Aベストアンサー

E が対角線BD 上にあることから, AE = CE であることは大丈夫でしょうか?
これさえ OK なら, 正方形ABCD の面積に対する△DEG の面積比は△AED 経由で求まりますね.

Q中2数学 図形【角度の問題】どうしても解けません

中2なんですが、どうしてもできない問題があります。

~以下問題文~

四角形ABCDは正方形、△EBCは辺BCを一辺とする正三角形である。
∠x、∠yを求めよ。

________________________

yは75°で解けました。ですが、xがどうしても解けません。学年1位の子に聞いても分かりませんでした(汗)

みなさん解説つきで教えてください!時間がないのでお願いします!

Aベストアンサー

ヒント: △CDEは二等辺三角形

Q角度の問題です

三角形の各頂点が、正方形の各辺上にあります。
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皆様、解き方をご教授お願いいたします。

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 頂点Cから、半径が正方形の一辺と等しい円を描き、その円に向かって角度30度で千を引きます。
 出来上がったふたつの三角形は、それぞれ合同です。
△ACd≡△ACO
△BCb≡△BCO
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 まあ、正方形の折り紙を折ればすぐ分かることで、いちいち三角関数の計算をする必要はないです。全く計算できない中途半端な角度でも成り立つ関係ですね。

Q三角形の中に正方形を書く方法について

こんにちは。いま、わからないことにぶつかっています。
形状を問わない三角形の中に、一辺は三角形の辺と重なり、
あとの2点は三角形の辺にかならず接する、正方形を書くということです。
コンパスなどは用いてもいいのですがどうやったらいいかいくら考えても
わかりません。5心と関係あるのかなとも思いました
わかるかたお願いいたします。    
          /\
         /   \
        /| ̄ ̄|\
       / |   | \ こんな感じです
        ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄  

Aベストアンサー

正方形の4隅に名前をつけます。
a-c
|  |  
b-d

三角形の2辺の上に接する適当なa,bを決めます。(底辺と直交)
a,bを元に仮の正方形、abdcを書きます。
三角形の左隅とcを結ぶと三角形の右斜辺との交点が本当のc点です。

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Q三角形の中の正方形の辺の長さを求める問題

X の長さを求めよという問題です。
三平方の定理などはネットで調べてみたのですがこの場合には使えないし、考え方など教えて頂けたらありがたいです。
宜しくお願いいたします。

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三角形の頂点からABCとします。また正方形の点を左上からDEFGとします
まず△ABCの頂点Aから垂線の足をおろしHとし△ABCの高さAHを三平方の定理を使って出します
AH^2=10^2-(21-HC)^2
=100-(441-42HC+HC^2)
=-HC^2+42HC-341---(1)
また
AH^2=17^2-HC^2
=289-HC^2---(2)
(1)(2)より42HC=630
HC=15
AH^2=280-15^2
=64
AH=8になります
従って△ABCの面積は21×8×(1/2)=84
△ABC=△ADG+△DBE+□DEFG+△GFC
△ADG=x×(8-x)×1/2=4x-(x^2/2)
△DBE+△GFC=(21-x)×x×(1/2)=(21x/2)-(x^2/2)
□DEFG=x^2
△ABC=4x-(x^2/2)+(21x/2)-(x^2/2)+x^2=29x/2
これが84なので
29x/2=84
29x=168
x=168/29

答えがあまりきれいではないのでちょっと?ですが方針はだいたいこれでいいかと思います
もっといいやり方があるかもしれませんが

三角形の頂点からABCとします。また正方形の点を左上からDEFGとします
まず△ABCの頂点Aから垂線の足をおろしHとし△ABCの高さAHを三平方の定理を使って出します
AH^2=10^2-(21-HC)^2
=100-(441-42HC+HC^2)
=-HC^2+42HC-341---(1)
また
AH^2=17^2-HC^2
=289-HC^2---(2)
(1)(2)より42HC=630
HC=15
AH^2=280-15^2
=64
AH=8になります
従って△ABCの面積は21×8×(1/2)=84
△ABC=△ADG+△DBE+□DEFG+△GFC
△ADG=x×(8-x)×1/2=4x-(x^2/2)
△DBE+△GFC=(21-x)×x×(1/2)=(21x/2)-(x^2/2)
□DEFG=x^2
△ABC=4x-(x^2/2)+(21x/2)-(x^2/2)+x^...続きを読む

Q中学2年「平行と合同」の問題

いつも母に教わっているのですが(中学レベルまでは問題無いので)
母がめずらしく解説を見ても、理解できなかったので、こちらにて質問させていただきます。

母が理解できない時点で私も理解不能です。

添付画像に関しての問題です。
(タイトルにもあるように中学2年の問題です。計算問題では無いので、無いとは思いますが
中2レベルでの解説をお願いします)


「図のように、線分AB上に点Cをとり、線分ACを1辺とする正三角形DACと、
線分CBを1辺とする正三角形ECBをつくる。AE、DBの交点をFとするとき、次の問に答えなさい」

1.△ACE≡△DCBであることを証明しなさい。
こちらに関しては問題なく解けました。分からないのは次の問題です。

2.∠DFAの大きさを求めなさい。

この解説に
∠DFA=∠FAB+∠FBA=∠BDC+∠FBA=∠DCA=60°とありました。

∠DFA=∠FAB+∠FBAに関しては
三角の2つの角の合計が、別の角の外角と同じである事から意味は分かります。

∠BDC+∠FBA=∠DCAに関しても
上記と同じ理由で分かります。
また∠DCAが60°だというのもDACが正三角形なので分かります。

ただ、上記2つを繋ぐイコールが母も私も分かりません。

このつたない文章で私が何を理解できていないのか伝わればいいのですが。
私が分からない点を解説いただきたいです。

いつも母に教わっているのですが(中学レベルまでは問題無いので)
母がめずらしく解説を見ても、理解できなかったので、こちらにて質問させていただきます。

母が理解できない時点で私も理解不能です。

添付画像に関しての問題です。
(タイトルにもあるように中学2年の問題です。計算問題では無いので、無いとは思いますが
中2レベルでの解説をお願いします)


「図のように、線分AB上に点Cをとり、線分ACを1辺とする正三角形DACと、
線分CBを1辺とする正三角形ECBをつくる。AE、DBの交点をFとするとき、次の...続きを読む

Aベストアンサー

正三角形(大小二つの三角形が相似)と言うところがポイントです。
・三角形、AFBの頂点Fについて考えると、外角∠DFAは、180°-∠AFBであることが分かります。
・∠AFBは三角形AFBのひとつの頂点ですから、180°-(∠FAB+∠FBA)であることも明白です。
・∠FABと∠FBAは共に正三角形のひとつの角(60°)を二つに分けた一つですから・・・


 ∠DFA = ∠FAB+∠FBA =60°= ∠BDC+∠FBA = ∠DCA


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