お酒好きのおしりトラブル対策とは

例えば、10個の未知数を含む6個の式かがあるとします。

10個の未知数の内、4個が分かったとすると解ける場合もある、と思うのですが、これはどのように証明したらいいのでしょうか。

A 回答 (6件)

←No.2「お礼」欄


「初期値」?
16元12連立「一次」方程式については…
方程式以外から値が与えられる未知数が3個では一意に解は求まらない →正しい
方程式以外から値が与えられる未知数は少なくとも4個必要 →正しい
方程式以外から値が与えられる未知数が4個あれば解が一位に決まる →係数による(から正しいとは言えない)
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この回答へのお礼

ご指摘ありがとうござました。
よく分かりました。

お礼日時:2013/04/24 20:26

そーか。

線型とは書いてなかったか。
非線型だと、一般論なんておよそ不可能だろうなあ…
できることは、「たぶん、自由変数の個数は
(未知数の個数)-(方程式の個数) なんだろな」と
ヤマをかけて計算を始めることぐらい。後は、
個々の方程式の式形にべったり依存した議論になる。
連立一次方程式なら、正体がよく解っているけどね。
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 「解ける」の意味ですが、皆さんも仰っているように、未知数10個(x1,x2,・・・,x10)で条件6個(J1,J2,・・・,J6、各JkはJk(x1,x2,・・・,x10)=0)でも、不定解の意味で解を持ち得ます。

例えば2x-y=0の解は、直線y=2x上の点全てです。

 またJ1,J2,・・・,J6の中に両立し得ない条件があれば、解なしになります(余り出会った事はないでしょうが)。例えば、異なる平行2直線の交点を求めようとした場合、などです。

 たぶん一意の解は存在するか?だと思いますが、一般的には、条件数と未知数が同数なら「そうなる見込みがある」しか言えません。以下は証明ではなく、イメージです。イメージなので、多元連立一次方程式でなくてもOKです。


 4個の未知数がわかったとして、残りをx1,x2,・・・,x6で表します。Jk(x1,x2,・・・,x6)=0の形は、定数項(既知数)は左辺へ移項してしまった、という事です。

  1)J1(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=0をx1について解き、x1=L1(x2,x3,x4,x5,x6)を作って、J2~J6のx1に代入します.
   J2~J6は(x2,x3,x4,x5,x6)だけで表された条件になります.

  2)J2(x2,x3,x4,x5,x6)=0をx2について解き、x2=L2(x3,x4,x5,x6)を作って、J3~J6のx2に代入します.
   J3~J6は(x3,x4,x5,x6)だけで表された条件になります.

・・・を繰り返し、5)まで来ると、

  5)J6(x6)=0の形になっている.

のは、わかると思います。連立一次方程式なら、3・x6-2=0みたいな形です。ここからx6=2/3と求めます(←L6です)。

 すでにx2=L2(x3,x4,x5,x6)のような、各xkを残りの未知数で表す式は手に入ってますので、x5=L5(x6)からx5を計算し、x4=L4(x5,x6)からx4を計算し、・・・と1)~5)の代入消去を逆順にたどれば、x6,x5,x4,x3,x2,x1の順番で解が得られます。


 イメージが成立するのは、条件数と未知数が同数の場合とわかりますよね?。そして注意も同じです。

 J1~J6の中に、同じ条件が形を変えて紛れている時があります。その場合は、不定解になり得ます。1)~5)のL1~L6のどこかで、0=0のような、条件にならない式が出てきます(だけど大抵は、計算違い(^^;))。

 J1~J6の中に両立不可能な条件があれば、解無しです。そのケースでは、L1~L6のどこかで、3=0のような、成り立たない式が出てきます(だけど大抵は、計算違い(^^;))。

 さらに一般的には、解が一つとは限りません。J6(x6)=0が、2次方程式x6^2-3・x6+2=0になってしまうようなケースです。これの解は、x6=1,2ですが不定解とは言いません。一つではないが、固定された数値になるからです。

 そして、どっちを使用するか悩む(^^;)。
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問題は


「多元連立方程式」というだけで
だれも「一次」とか「線形」とかいってないこと.

一次なら線形代数の教科書をみれば
解空間のことは書いてある.
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解がある場合に、解空間の次元は


係数行列の dim Ker だから、
10 元 6 連立の際、パラメータが 4 個とは限らない。
係数行列の rank を r として、
解のパラメータは 10-r 個になる。
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この回答へのお礼

素早い回答いつもありがとうございます!
検討に時間がかかり、お礼がいつも遅くなってすみません。

具体的には16元12連立、と考えています。初期値が何個あると解が一意に決まるか、ということが問題なのですが、もちろん式の係数に依るので一概には言えませんが、「初期値は3個では一意に解は求まらない」「初期値は少なくとも4個必要」を言いたくて、

1.前者は正しい
2.後者は係数による

でよろしいでしょうか。

お礼日時:2013/04/20 21:24

http://siva.cc.hirosaki-u.ac.jp/usr/mnishi/08LA/ …
↑これの、定理4.3
要するに、定数項ベクトルが、係数行列の像空間に入ってればいい…という話だから、
未知数の個数と方程式の個数が一致する必要はなく、10元6連立の場合にも使える。
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これは本当ですか?(1)と(2)以外の場合は解けないのですか?教えてください。

また、(1)と(2)しか解けない場合でも、そうでない場合でも、その理由を簡単に説明してください。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

(1)(2)のような単純な判断にはなりません。
実数または複素数の場合は、次のように考えます。

[ア]未知数がN個ある。
[イ]独立で、矛盾しない方程式がM個ある。

この場合、M>N なら解けません。M≦Nなら解けます。ただし、M<Nの場合は、不定方程式といって、解の中に任意の値をもつ変数が入ります。
(例)2つの未知数x,y について1つの式 x+y=1 がある場合、解はtを任意の値として x=t, y=1-t

「独立」の意味は、ある方程式から別の方程式を導くことができないということです。たとえば、式1と式2から式3が導ける場合、これらは独立ではありません。
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http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/linearalg02/node7.html

参考URL:http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/linearalg02/node7.html

(1)(2)のような単純な判断にはなりません。
実数または複素数の場合は、次のように考えます。

[ア]未知数がN個ある。
[イ]独立で、矛盾しない方程式がM個ある。

この場合、M>N なら解けません。M≦Nなら解けます。ただし、M<Nの場合は、不定方程式といって、解の中に任意の値をもつ変数が入ります。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>早速シンプレックス法について見てみましたが、
まだ理解が浅いので実際の問題にどうやって使えばよいかまだピンと来ません。

線形計画問題の一般的な形
(目的関数と等式による制約条件)
に問題を変形して、後は機械的に解くだけです。

ネットで「シンプレックス法」で検索して、
いくつか例を見られると良いと思います。

>なお、実際の問題をMathcadで行うと線形より非線形(準ニュートン)の方がいい値が出ています。これらの違いについても簡単に教えていただけると大変助かります。

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参考URL:http://zeus.mech.kyushu-u.ac.jp/~tsuji/java_edu/QNewton.html

>早速シンプレックス法について見てみましたが、
まだ理解が浅いので実際の問題にどうやって使えばよいかまだピンと来ません。

線形計画問題の一般的な形
(目的関数と等式による制約条件)
に問題を変形して、後は機械的に解くだけです。

ネットで「シンプレックス法」で検索して、
いくつか例を見られると良いと思います。

>なお、実際の問題をMathcadで行うと線形より非線形(準ニュートン)の方がいい値が出ています。これらの違いについても簡単に教えていただけると大変助かります。

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