多元連立方程式の解ける条件

例えば、10個の未知数を含む6個の式かがあるとします。

10個の未知数の内、4個が分かったとすると解ける場合もある、と思うのですが、これはどのように証明したらいいのでしょうか。

No.6 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/22 19:13

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「初期値」？
１６元１２連立「一次」方程式については…
方程式以外から値が与えられる未知数が3個では一意に解は求まらない　→正しい
方程式以外から値が与えられる未知数は少なくとも4個必要　→正しい
方程式以外から値が与えられる未知数が4個あれば解が一位に決まる　→係数による(から正しいとは言えない)

この回答へのお礼

ご指摘ありがとうござました。
よく分かりました。

お礼日時：2013/04/24 20:26

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/20 19:24

そーか。

線型とは書いてなかったか。
非線型だと、一般論なんておよそ不可能だろうなあ…
できることは、「たぶん、自由変数の個数は
(未知数の個数)-(方程式の個数) なんだろな」と
ヤマをかけて計算を始めることぐらい。後は、
個々の方程式の式形にべったり依存した議論になる。
連立一次方程式なら、正体がよく解っているけどね。

No.4 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/04/20 12:22

　「解ける」の意味ですが、皆さんも仰っているように、未知数10個（x1，x2，・・・，x10）で条件6個（J1，J2，・・・，J6、各JkはJk(x1，x2，・・・，x10)＝0）でも、不定解の意味で解を持ち得ます。

例えば2x－y＝0の解は、直線y＝2x上の点全てです。

　またJ1，J2，・・・，J6の中に両立し得ない条件があれば、解なしになります（余り出会った事はないでしょうが）。例えば、異なる平行2直線の交点を求めようとした場合、などです。

　たぶん一意の解は存在するか？だと思いますが、一般的には、条件数と未知数が同数なら「そうなる見込みがある」しか言えません。以下は証明ではなく、イメージです。イメージなので、多元連立一次方程式でなくてもOKです。


　4個の未知数がわかったとして、残りをx1，x2，・・・，x6で表します。Jk(x1，x2，・・・，x6)＝0の形は、定数項（既知数）は左辺へ移項してしまった、という事です。

　　1)J1(x1，x2，x3，x4，x5，x6)＝0をx1について解き、x1＝Ｌ1(x2，x3，x4，x5，x6)を作って、J2～J6のx1に代入します．
　　　J2～J6は(x2，x3，x4，x5，x6)だけで表された条件になります．

　　2)J2(x2，x3，x4，x5，x6)＝0をx2について解き、x2＝Ｌ2(x3，x4，x5，x6)を作って、J3～J6のx2に代入します．
　　　J3～J6は(x3，x4，x5，x6)だけで表された条件になります．

・・・を繰り返し、5)まで来ると、

　　5)Ｊ6(x6)＝0の形になっている．

のは、わかると思います。連立一次方程式なら、3・x6－2＝0みたいな形です。ここからx6＝2/3と求めます（←Ｌ6です）。

　すでにx2＝Ｌ2(x3，x4，x5，x6)のような、各xkを残りの未知数で表す式は手に入ってますので、x5＝Ｌ5(x6)からx5を計算し、x4＝Ｌ4(x5，x6)からx4を計算し、・・・と1)～5)の代入消去を逆順にたどれば、x6，x5，x4，x3，x2，x1の順番で解が得られます。


　イメージが成立するのは、条件数と未知数が同数の場合とわかりますよね？。そして注意も同じです。

　J1～J6の中に、同じ条件が形を変えて紛れている時があります。その場合は、不定解になり得ます。1)～5)のＬ1～L6のどこかで、0＝0のような、条件にならない式が出てきます（だけど大抵は、計算違い(^^；)）。

　J1～J6の中に両立不可能な条件があれば、解無しです。そのケースでは、Ｌ1～L6のどこかで、3＝0のような、成り立たない式が出てきます（だけど大抵は、計算違い(^^；)）。

　さらに一般的には、解が一つとは限りません。Ｊ6(x6)＝0が、2次方程式x6^2－3・x6＋2＝0になってしまうようなケースです。これの解は、x6＝1，2ですが不定解とは言いません。一つではないが、固定された数値になるからです。

　そして、どっちを使用するか悩む(^^；)。

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2013/04/17 21:44

問題は

「多元連立方程式」というだけで
だれも「一次」とか「線形」とかいってないこと．

一次なら線形代数の教科書をみれば
解空間のことは書いてある．

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/16 22:30

解がある場合に、解空間の次元は

係数行列の dim Ker だから、
10 元 6 連立の際、パラメータが 4 個とは限らない。
係数行列の rank を r として、
解のパラメータは 10-r 個になる。

この回答へのお礼

素早い回答いつもありがとうございます！
検討に時間がかかり、お礼がいつも遅くなってすみません。

具体的には16元12連立、と考えています。初期値が何個あると解が一意に決まるか、ということが問題なのですが、もちろん式の係数に依るので一概には言えませんが、「初期値は3個では一意に解は求まらない」「初期値は少なくとも4個必要」を言いたくて、

１．前者は正しい
２．後者は係数による

でよろしいでしょうか。

お礼日時：2013/04/20 21:24

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/16 21:17

http://siva.cc.hirosaki-u.ac.jp/usr/mnishi/08LA/ …
↑これの、定理4.3
要するに、定数項ベクトルが、係数行列の像空間に入ってればいい…という話だから、
未知数の個数と方程式の個数が一致する必要はなく、１０元６連立の場合にも使える。