長方形の各辺は一様電荷になっています。
求めたいのは内部の各点における電位(ポテンシャル)です。

線電荷というのを使うのかな、と思って、

Φ=∫dx / √(x**2+y**2)
(** は 二乗 , Φ は 電位)
かなとも思いました。
でも長方形の場合にどこを軸に取ればいいのかが分かりませんでした。

なにかこのメールで分からないことがあれば、それも書いていただいて
結構です。

A 回答 (2件)

訂正です。



積分の第1項目の
 ∫dx/√{(a-x)^2+y^2}

 ∫dx/√{(a-x)^2+b^2}
の間違いです。

あと、電位を求める点は長方形と同じ面内でよろしいのでしょうか。
そうでないとしてもほとんど変わりませんが。
また、1/√{(a-x)^2+b^2} を積分すると log{x+√((x-a)^2+b^2)}
となります。

 
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2001/05/29 12:42

軸はどこでもかまいません。


積分範囲が変わるだけです。

例えば
 ↑
y0│____
 │    │
 │    │
 └──────→
      x0
のようにとるなら

φ=∫dx/√{(a-x)^2+y^2} + ∫dy/√{(a-x0)^2+(b-y)^2} + ...

で、積分範囲は1項目が 0~x0、2項目が 0~y0 などのようになりますね。
ここでは、長方形内部の点(a,b)での電位を求めています。
また、係数は省略しました。
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Q平面電荷と点電荷の作る電位

http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~masiyama/ube-k/deni2.pdf

ここのページにありますように
点電荷が作る電位は

V = Q / εr

で表されます。

一方で、点電荷を平面状に並べることで作られる平面電荷による電位は

http://www2.ipcku.kansai-u.ac.jp/~saitoh/parts/lectures/staticelectricity.pdf

ここの5ページにありますように

-σr / 2ε

で表されます。

つまり、点電荷の場合、電荷の上で電位が無限大で、
電荷から離れるに従って電位はゼロになるということになります。

一方で、平面電荷の場合には、
電荷の上で電位がゼロで、電荷から離れるに従って電位はマイナス無限大に発散するということになります。

なぜ、平面電荷の場合で、電荷の上で電位がゼロになるのかということと、
距離無限大で電位が無限大に発散するのかということが理解できません。

点電荷上で電位が無限大になるのであれば平面電荷であっても同様に無限大になり、
遠い距離では同様に電位はゼロにならないのはなぜでしょうか?

電場を積分することで電位が得られ、平面電荷の場合には電場が距離によらず
一定であるために、このようなことが起きることは数式的には理解できるのですが
直感的に理解することができません。

どなたかわかりやすい説明をよろしくお願いいたします。

http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~masiyama/ube-k/deni2.pdf

ここのページにありますように
点電荷が作る電位は

V = Q / εr

で表されます。

一方で、点電荷を平面状に並べることで作られる平面電荷による電位は

http://www2.ipcku.kansai-u.ac.jp/~saitoh/parts/lectures/staticelectricity.pdf

ここの5ページにありますように

-σr / 2ε

で表されます。

つまり、点電荷の場合、電荷の上で電位が無限大で、
電荷から離れるに従って電位はゼロになるということになります。

一方で、平面電荷の場合には、...続きを読む

Aベストアンサー

Quarks さん:
> 電位は、基準点をどこに取るかで、違った値を持ちます。
> 無限遠点を基準に取ることが多いですが、これは、有限の大きさを持った電荷が有るとき、
> その電荷から無限の距離離れた地点では、その電荷の影響は無くなる、
> ということと関連させて、影響が無いなら、そこを電位が0とすると、
> 何となくスッキリするだろう、くらいの意味でそうするに過ぎないのではないでしょうか。
> 繰り返しますが、基準点はどこに取っても問題ないのなら、
> 無限遠点を基準にしても、電荷の有る位置を基準にしても、
> はたまた別の適当な位置を基準にとっても構わないわけです。

電位の基準点はどこにとっても構わないのは Quarks さんのおっしゃるとおりです.
(可能ならば)基準点を無限遠にとることについては
無限遠はどこから見ても無限遠なので,
たとえば点電荷が2個あったときに共通の基準点に取れることが極めて大事です.
点電荷から 1 [m] の点を基準点にするというような約束をしたら,
2個の点電荷があったときに違う基準点で電位を測ることになりますから,
基準点の調整が必要になります.

なお,電場の線積分を無限遠まで延ばして積分が収束しても無限遠を基準点に取れるとは
限りません.
例えば,x=+a (a>0) に一様な面密度 +σ(σ>0)の平面電荷があり,
x=-a に一様な面密度 -σの平面電荷がある,という場合,
x → +∞ の無限遠点と x → -∞ の無限遠点とでは電位が 2aσ/ε_0 だけ違います.

Quarks さん:
> 電位は、基準点をどこに取るかで、違った値を持ちます。
> 無限遠点を基準に取ることが多いですが、これは、有限の大きさを持った電荷が有るとき、
> その電荷から無限の距離離れた地点では、その電荷の影響は無くなる、
> ということと関連させて、影響が無いなら、そこを電位が0とすると、
> 何となくスッキリするだろう、くらいの意味でそうするに過ぎないのではないでしょうか。
> 繰り返しますが、基準点はどこに取っても問題ないのなら、
> 無限遠点を基準にしても、電荷の有る位置を基準...続きを読む

Q球内部に、一様に電荷が分布する際・・・

大学で物理を学んでいます。
課題が出たのですが、分からないのれでアドバイスをいただけたらと思います。

問いは下のようなものです。
 「半径Rの球内部に、一様に電荷Qが分布している。
  (1)球の中心から距離rでの電場Eは?
  (2)ビーズのようにこの球の中心を通る直線状の孔を空け、電荷q、質量mの
    小球を入れたところ、振動した。この振動の周期は?
  (3)この孔に初速度Voで小球を入れるとどのような運動をするか?」


(1)は、なんとか解けたと思っています。
球対称な電荷分布なので、電場の式E=Q/(4πεr^2)に、
r≧aのときはQ=Q、r<aのときはQ=Q(r/a)^3を代入しました。

(2)と(3)が分かりません・・・。積分の式も立てられないです・・・。
お時間が許せば、立式と計算と答え、全部知りたいところですが、
何でもアドバイスいただければうれしいです^^;;

詳しいかたおられましたら、よろしくお願いしますm

Aベストアンサー

課題ですから、ヒントだけ

(2) r <= R では E は r に比例しますから、小球に働く電気力も r に比例します。摩擦力など他の力は働かないとするのが題意でしょう。するとこの場合の運動はバネに付けられた質点の運動と同じで単振動です。単振動の周期の求め方は既習だと思います。必要なら復習してください。

(3) 小球は孔の他端から同じ速度で飛びだします。小球が孔の中にある間は、小球の運動は単振動の一部であり、その位相と振幅は初期条件(時刻 0 で 変位が R または -R、速度が V0)から決まります。孔の他端から飛び出した後は r^2 に比例する引力を受けますが、これは万有引力の下での運動と同じです。これについても、必要なら復習してください。V0 の大きさによって、戻ってくる場合と、無限遠に飛び去る場合があります。

Q無限に長い円筒の側面上に電荷が一様な面密度

半径Rの無限に長い円筒の側面上に電荷が一様な面密度σで分布しているとき、ガウスの法則を用いて生じた電場を求めよ。

以下参考書の解説
 閉曲面Sとして、電荷の分布する円筒と同軸の半径r、長さLの円筒面を選ぶ。Sについての電場Eの面積分はE2πrL
 Sの内部に含まれる電荷はr<Rのとき0、r >Rのときσ2πRL
 よって、ガウスの法則より、E=0(r<R)、σR/εr(r >R)

なぜ、Sの内部に含まれる電荷はr >Rのときσ2πRLなんですか?
なぜ、E=σR/εr(r >R)なんですか?

詳しい解説お願いします。

Aベストアンサー

>Sの内部に含まれる電荷はr >Rのときσ2πRLなんですか?

問題の定義どおりです。

面密度 x 円筒の表面積 = σ x 2πRL

>なぜ、E=σR/εr(r >R)なんですか?

ガウスの法則から

電場=電荷量/(ε局面Sの側面積) = σ x 2πRL/(ε2πrL)=σR/(εr)

Qxy平面に一様に電荷が存在したときのz軸上の静電ポテンシャルをガウスの

xy平面に一様に電荷が存在したときのz軸上の静電ポテンシャルをガウスの法則を使わないで求めることは出来るでしょうか?ガウスの法則を使うと-ρz/2εになりました。
実はこれは、xy平面をx方向に一様な面電流密度Kの電流が流れている時に、平面電流の作るベクトルポテンシャルを計算して、磁束密度を求める問題なのです。しかし解説が省略されていて、Ax=-μK|z|/2となっていました。でも僕が解くとどうしてもzの2乗が出てきてしまいます。どなたかご教授ください。

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>xy平面に一様に電荷が存在したときのz軸上の静電ポテンシャルをガウスの法則を使わないで求めることは出来るでしょうか?
本当にガウスの法則を使わないのなら、そもそも電位分布が1つに定まらないのでポテンシャルが求まるわけがありません。


>しかし解説が省略されていて、Ax=-μK|z|/2となっていました。でも僕が解くとどうしてもzの2乗が出てきてしまいます。
だったら、どこかで計算ミスをしたのだと思いますが、貴方がどう解いたのかは知らないのでそれ以上の事は分りません。

Q点電荷、電位と仕事

物理初学者です。
初歩的かつ図が手書きで見づらく申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。

(問題)
図のようにxy平面上にA(-a,0) B(a,0) D(0,-a)に、A,Bには正の点電荷+Q、Dには負の点電荷-Qを置く。
AとDの点電荷を置き換える際に必要な仕事はいくらか。
ただし、クーロンの法則の比例定数をkとし、無限遠点での電位を0とする。


図中のCはこの前の設問で用いられたもので、ここに電荷を置いたりはしないのでこの設問には関わりありません。
自分なりの答えでは

まず、Aの電位V(A)はBの正の点電荷とDの負の点電荷により、

V(A)=(kQ/2a)+(-kQ/√2a)=(1-√2)kQ/2a

次に、Dの電位V(D)はAの正の点電荷とBの正の点電荷により、

V(D)=(kQ/√2a)+(kQ/√2a)=√2kQ/a

以上から仕事とエネルギーの関係より、必要な仕事をWとすれば、

(+Q)V(A) + (-Q)V(D) + W = (-Q)V(A) + (+Q)V(D)

これを解いて W=(3√2-1)kQ^2/a


と解いたのですが、正答は

(正答)

点 B の電荷による,点 A と点 D の電荷の位置エネルギーに注目する。 点 B の電荷による,点 A と点 D の電位は

V(A)=kQ/2a  V(D)=kQ/√2a

だから、仕事とエネルギーの関係より W=(√2-1)kQ^2/a


となっています。



正答では、Bによる電荷しか考慮に入れていないのですが、これは電位の基準をBにとったということでしょうか。
だとすると、無限遠点を基準に取った場合でも最終的な答えは合うはずなのですが、どこが間違っているのかさえわかりません・・・・

長く見づらい質問文ですが、ご教授ください。

物理初学者です。
初歩的かつ図が手書きで見づらく申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。

(問題)
図のようにxy平面上にA(-a,0) B(a,0) D(0,-a)に、A,Bには正の点電荷+Q、Dには負の点電荷-Qを置く。
AとDの点電荷を置き換える際に必要な仕事はいくらか。
ただし、クーロンの法則の比例定数をkとし、無限遠点での電位を0とする。


図中のCはこの前の設問で用いられたもので、ここに電荷を置いたりはしないのでこの設問には関わりありません。
自分なりの答えでは

まず、Aの電位V(A)はB...続きを読む

Aベストアンサー

作用反作用の法則は関係ありません。

>また、仮にAとDに異なった量の電荷をおいても、やはり計算には組み入れてはいけないのでしょうか。
#1で「この問題では」と書いてないものについては一般論を書いています。


質点A,Bがばねでつながれているとして、ばねが自然長からxだけ伸びた状態で静止しているとしましょう。
この時系全体のエネルギーは
・Aの位置エネルギーkx^2/2(=Bにつながっているばねの弾性エネルギー)
・Bの位置エネルギーkx^2/2(=Aにつながっているばねの弾性エネルギー)
の和(=kx^2)には【ならない】という事は理解できますか?

位置エネルギーは各質点に蓄えられているというよりもばねが蓄えていて、
ばねは一つしかないのですから、kx^2/2が系全体のエネルギーになります。

クーロン力の場合には、ばねが場(電場)に変わっただけで話としては同じで、重複して足し合わせることはしないのですが。

類推ではなく、式で納得したいのなら、例えばA,B,Dの順に電荷を無限遠に移動する際の仕事を計算してみて下さい。符号を反転したものが移動前の系の全エネルギーです。

作用反作用の法則は関係ありません。

>また、仮にAとDに異なった量の電荷をおいても、やはり計算には組み入れてはいけないのでしょうか。
#1で「この問題では」と書いてないものについては一般論を書いています。


質点A,Bがばねでつながれているとして、ばねが自然長からxだけ伸びた状態で静止しているとしましょう。
この時系全体のエネルギーは
・Aの位置エネルギーkx^2/2(=Bにつながっているばねの弾性エネルギー)
・Bの位置エネルギーkx^2/2(=Aにつながっているばねの弾性エネルギー)
の和...続きを読む


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