微分方程式の問題（演算子法）

微分方程式の問題です。y''+4y'+4y=exp(-x)cosxを演算子法で解く方法を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/20 19:05

D = d/dx と置くと、

(D^2+4D+4)y = (exp -x)(cos x) より
y = (exp -x)(cos x)/(D+2)^2。

公式: f(x)/(D+a) = (exp -ax) ∫(exp ax)f(x)dx を使って、
y = {1/(D+2)}^2 (exp -x)(cos x)
= {1/(D+2)} (exp -2x) ∫(exp x)(cos x)dx
= {1/(D+2)} (exp -2x) [ (1/2)(exp x){ (sin x) + (cos x) } + A ]
= (1/2) {1/(D+2)} (exp -x)(sin x)
　+ (1/2) {1/(D+2)} (exp -x)(cos x)
　+ A {1/(D+2) (exp -2x)
= (1/2)(exp -2x) ∫(exp x)(sin x)dx
　+ (1/2)(exp -2x) ∫(exp x)(cos x)dx
　+ A(exp -2x) ∫dx
= (1/2)(exp -2x) [ (1/2)(exp x){ (sin x) - (cos x) } + B1 ]
　+ (1/2)(exp -2x) [ (1/2)(exp x){ (sin x) + (cos x) } + B2 ]
　+ A(exp -2x) {x + B3}
= (1/2)(exp -x)(sin x) + (exp -2x)(A x + B)
　; A, B1, B2, B3, B は定数

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2013/04/20 18:48

参考URLに演算子法の解答付き演習問題がありますので、そのやり方を参考にして解いて見て下さい。

参考URL：http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA …