誕生日の確率

クラスにn人いたとき、m人が同じ誕生日となる確率を求める過程を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2013/04/22 15:28

m人「以上」ではないんですよね。

また、m人の組が複数いてもいいんですよね。

そうであるとして、1年365日とし同じ確率で誕生日になっていると仮定すれば、

ある特定の日が誕生日である人がm人いる確率は、nCm*(1/365)^m*(354/365)^(n-m) なので、
１年では、365*nCm*(1/365)^m*(364/365)^(n-m)

しかしこれだと２ヶ所の日がm人いる場合を重複して足しているので、その分を引いて、
365*nCm*(1/365)^m*(364/365)^(n-m) - 2C365*nCm*(n-m)Cm*(1/365)^m*(1/365)^m*(363/365)^(n-2m)

しかしこれだと３ヶ所の日がm人いる場合を重複して引いているので、その分を足して、
365*nCm*(1/365)^m*(364/365)^(n-m) - 2C365*nCm*(n-m)Cm*(1/365)^m*(1/365)^m*(363/365)^(n-2m) + 3C365*nCm*(n-m)Cm*(n-2m)Cm*(1/365)^m*(1/365)^m*(1/365)^m*(362/365)^(n-3m)

しかしこれだと４ヶ所の日がm人いる場合を重複して足しているので、その分を引いて、
・・・・・

というとこを繰り返す。


これを式にすると、
Σ[i=1～k](-1)^(i-1) * iC365 * n!/((m!)^i*(n-i*m)!) * (1/365)^(i*m) * ((365-i)/365)^(n-i*m)
（ただしkは、n/mを越えない最大の整数）