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こんにちは、不可解なタイトルですみません。

添付の図に示す問題に出会いまして悩んでおります。
始め静止状態にあるものを解放して、三角ブロックBの加速度を求める、というものです。
ブロックAは下降するので、図に示した摩擦力fの向きは正しく予測できます。
ところが、Bが床から受ける摩擦力f’が、頭を悩ませております。
というのも、まずBが左へ動くのか、右へ動くのかがわかりません。垂直効力Nの大きさや摩擦力fの大きさによって、左にも右にも行く可能性があります。つまり計算してみないとわかりません。ところが運動方程式を立てるときは、Bの加速度の向きを予測する必要があります。そしてその逆の向きを摩擦力f’の向きとしています。どのように摩擦力f’を予想したらよいのでしょうか。

ところでf’ = uN’
でN’が負の値になることはないので、必然的にf’が正の値になってしまい、f’の向きは初めに予測する向きが正しくないと、すべての答えが間違ってしまいます・・・ 

どうすればよいのかわからず、どうか解法をお教え頂けますととても勉強になります。

宜しくお願い致します。

「摩擦の向き、加速度の向き、どちらがどちら」の質問画像

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A 回答 (15件中1~10件)

はじめまして。



手順としては、すべて静止摩擦で説明できないかを検討して、無理だったら順番に動摩擦に切り替えていくのがいいのではないでしょうか。
(AとB、Bと床が固着しているとして、その接線力を力の釣り合いで求め、最大静止摩擦力以下であれば動かないはずである)
(元の問題文に最大静止摩擦係数が書いていなかったらちょっと困りますね)

Bが右に行くという計算結果にもきちんと意味はあります。
Bに右向きの摩擦力が働くということはどういうことか。それはBが左向きの初速を持っていたということです。
その状態の運動方程式を立ててみたらBが右向きの加速度を持っていた。それはつまりBが減速しつつあってそのうち止まってしまうであろうということです。
Bが止まってしまえば摩擦力は静止摩擦に切り替わります。運動方程式もその瞬間に形が変わります。

元の問題文では多分AもBも静止状態からのスタートでしょうから、最初に生じるのは静止摩擦と考えるのが自然です。

タイトルに即してまとめると、摩擦の向きを決めるのは速度の向きということです。
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あー、ちょっと気がついたんだけど、この問題ってこれだけの条件じゃ解けないんじゃないの?

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f=μNから符号は出なくとも、運動方程式を立てて解けばわかるはずなんだけどな、つまり摩擦力を左向きを正として解けば「左向きに動く場

負になるはずだ」とおもうけど?
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ANo.3,ANo.7 です。


 
>"Bが動くであろう”という仮定を否定する方法を考えてみたいと思います。
 
「否定する方法」なんて言うほどのものではありません。この文の下に書いてある"解答法"をご覧下さい。
 
 
静止していたBが<<動き出したとすれば>>、必ず左向きの加速度を受けるのです。
しかし、Bが<<動き出したとして>>計算した結果は、右向きの加速度を持ってしまう。このことも事実です(私なりに計算して、確かにそうなることは確かめました)。
 
つまり、<< >>のところが、初めの仮定になっているのですが、この仮定を正しいものと認めてしまうと、とんでもない結果になってしまう。それが、jecclさんが陥っている困惑の根源なのです。
 
繰り返しますが、唯一の解決=解答は、<< >>を否定すること
 Bは静止したままだった
として解くことです。Bに働く摩擦力は静止摩擦力だったのです。
 
 
解答に当たっては、

(1) (jecclさんがおこなった計算を示した上で)
 Bに働く床からの摩擦力が動摩擦力であったとして計算をしたら、Bの加速度が右向きのものであるという結論に至ったが、これはBが左向きに加速するとした出発点での仮定と矛盾するので、Bに作用していた摩擦力は静止摩擦力であったと考えざるを得ない。
そこで、改めて、Bが動かないとして定式化すると…
 
(2) Bに作用する、床からの摩擦力が動摩擦力であったとすると、その大きさはf"(Bが左向きに加速度運動したとして実際に計算します)である。
一方、Bに作用する、他の力の合力の水平方向分力を求めてみると、左向きで、大きさはF(こちらも実際に計算します)である。
両者を比較すると、
 F<f"
であることがわかる。
ところで、一般に、最大摩擦力(F0)>動摩擦力(f") が成立するので、
 F0>f"
である。
ところで、Bが動き始めるためには
 F>=F0
が(少なくとも一時的にでも)成り立ったことがあることが条件だが、
 f"より小さいFがF0を超えることはありえないので、"物体Bは動き出すことができない"。このことを元に、定式化すると…
 
 
のどちらかを選択するしかないでしょう。
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なんか、群盲、象をなでるみたいな事になってますけど、まずはおかしな結果になったという運動方程式を、手間を惜しまず全部書いて見たらどうですか。

そのほうが話は早いですよ。
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この回答へのお礼

hitokotonusi様、本件にコメント下さりありがとう御座います(また、いつも回答下さりありがとう御座います。)

計算結果を他の回答者様のお礼欄にお示ししました。
どうか私の解法をご確認頂き、何か誤っている点、問題点などご指摘頂けると幸いです。

どうぞ宜しくお願い致します。

お礼日時:2013/04/23 12:51

メンゴ!(8)の回答者ですが、老眼でよく見えないままで答えてしまいました、今度は老眼鏡をかけて答えます・・。



そもそも図中の表示がベクトル表示でないので「よく考えて符号を決めろ」あるいは「図に書いてある通りだよ」という意味かと存じます。ここで「重力運動だが水平成分の話だから内力による運動の話と同じ」「内力による運動では重心が変化しない」と見当を立てて「左へ動く」と推論したらどうでしょうか?
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この回答へのお礼

回答下さりありがとう御座います。また、図の表記がクリアでなくご迷惑をおかけしました。
皆様に回答を頂き、ようやく私も、Bが動くとしたら左しかありえない、ということが理解できました。

次なる問題は、計算結果上、Bが右に加速されるということとなり、現実では起こりえないことになってしまったということであります。この問題を理解したく、ぜひもう一度ご教示下さいますととても助かります。

私の計算結果は他の回答者様のお礼欄にお示ししました。どうか、これをご覧いただき、私の解法に何か問題があるか、もしくはこの出題に何か破綻のようなものが起きていないか、などお教え頂けないでしょうか。
(計算結果をここにお示ししたいのですが、回答者様全員のお礼欄に張り付けますと、ページが長くなって、かえって煩わしくなってしまうかと思いまして、ここには張り付けないこととしました。ご理解のほどよろしくお願いします。)、

お礼日時:2013/04/23 12:48

#1 Phyoncoです。

大分苦労していますね。基本的に水平方向の運動量保存の議論が正しいです。それと矛盾した結果が出たということなので、もう一度ご自分の計算を見直されてはいかがですか?他の方へのお返事をさっと眺めたところ、まずNの値がおかしいと思います。30度なんだからN = sqrt(3)/2 * mg になりませんか?m= 1 Kg, g = 9.8 m/s^2 とするとあなたの数値は合っていません。AがBの斜面に沿って受ける摩擦力fの大きさはこのNの0.3倍ですね?で、fの水平成分はまた30度を使えばsqrt(3)/2 * 0.3 * Nとなります。Nの水平成分は左へN/2なので、Bが受ける水平左方向の力はN/2 - sqrt(3)/2 * f = (N/2)*(1 - sqrt(3)/2 * 0.3) > 1となって、ちゃんと左方向への加速度が出てきます。
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この回答へのお礼

phyonco様、返答下さりありがとう御座います。皆様に回答頂き、色々と見えてきました。たしかに、Bは左にしか動きようがありません。が、計算結果上、Bが右に加速されるため、困っております。

なお、ご指摘頂いた点ですが、
もしブロックBが動いていなければ、角度60度方向の成分は相殺してN - mgcos30 = 0となりますが、
ブロックAの加速度は単純に角度-30度で下るわけではなく、同時にブロックBの動いているため、角度60度方向の成分がゼロにはなりません。~Aa = ~Ab + ~Aa/b (~はベクトルの矢印表記)。

私の計算結果をお示し致します。
どの点が問題か、はたまたこの出題された問題に何か破綻のようなものが起きているのか知りたく、どうか今一度議論頂ければと思います。

====================================================
四角ブロックA 質量 1kg
三角ブロックB 質量 2kg
三角ブロックの角度 Θ: 30度
AとBの間の摩擦係数:0.3
Bと床の間の摩擦係数: 0.2

これから、計算しますと、

■N = 9.39
■N' = 29.16
■Ab: Bの加速度 = 1.79 m/s^2 (方向は右向き)
■Aa/b: AのBに対する相対加速度 = 0.537 m/s^2 (方向は右斜め下向き、エックス軸に対して角度マイナス30度)


となりました。

方程式(4つの未知数、4つの方程式)をお書きしますと、

■Bの水平成分
Ncos(-120) + 0.3Ncos(-30) +0.2N' = -MAb
これを整理すると
-0.24N + 0.2N' +2Ab = 0 .....(1)

■Bの鉛直成分
Nsin(-120) + 0.3Nsin(-30) + N' -Mg = 0
これを整理すると
-1.016N + N' = 19.62 .....(2)

■Aの水平成分
0.3Ncos150 + Ncos60 = -mAb + mAa/b (cos(-30))
これを整理すると、
0.24N +Ab -0.866Aa/b = 0 ...(3)

■Aの鉛直成分
0.3Nsin150 + Nsin60 -mg = mAa/b (sin-30)
これを整理すると
1.016N +0.5Aa/b = 9.81 ...(4)

計算結果は、次の通りです。
■N = +9.39
■N' = +29.16
■Ab: Bの加速度 = -1.79
■Aa/b: AのBに対する相対加速度 = +0.537 m/s^2
====================================================

お礼日時:2013/04/23 12:41

fとf’とは作用と反作用の関係ですから、法則により、f=-f’以外にはなりませんよ、しっかりしてください!

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計算が正しくなされていて、その結果、"Bが右への加速度を持つ"ということになったとすれば、考えられることは1つしかありません。


思考過程の途中で、幾つかの仮定をしていたはずですが、そのどれかの仮定が間違っていた、ということです。 
 
繰り返しますが、Aが右下方向へ滑り降り、そしてBも動くならば、Bは左へ動かざるをえません。
ここに2つの仮定があります。
 "Aが滑り降りるだろう"ということ
そして、
 "Bもまた動くであろう"ということ
です。
 
初めの仮定は、どうでしょうか?
Aにチョンとつついてやれば、動きそうですね。
その後滑走し続けたとしても何等不思議ではありません。どんどん速くなるかやがて止まってしまうかは、計算しなければわかりませんが、1番目の仮定には異常を認められません。
 
とすれば、2つ目の、"Bもまた動き出すだろう"という仮定、おそらく、これがマズイのでしょう。つまり
 Bは動かなかった
とするのが、正しい判断なのだろうと思います。床からBが受ける摩擦力は静止摩擦力だったと考えれば、何等、異常は無いのですから。
 
Bの加速度が負になってしまうのは、床面とBとの間の動摩擦力が大きすぎるからでしょう。もし、こちらの動摩擦係数がとても小さな値だったら、Bはまさに左向きに動き出すことになるでしょう。
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この回答へのお礼

Quark様、再びご返答下さりありがとう御座います。

"Bが動くであろう”という仮定を否定する方法を考えてみたいと思います。

他の方にもお示ししましたが、私の計算結果(Bの加速度が右向きになってしまう)をお示しします。
以下、写し&貼り付け、にて失礼します。

====================================================
四角ブロックA 質量 1kg
三角ブロックB 質量 2kg
三角ブロックの角度 Θ: 30度
AとBの間の摩擦係数:0.3
Bと床の間の摩擦係数: 0.2

これから、計算しますと、

■N = 9.39
■N' = 29.16
■Ab: Bの加速度 = 1.79 m/s^2 (方向は右向き)
■Aa/b: AのBに対する相対加速度 = 0.537 m/s^2 (方向は右斜め下向き、エックス軸に対して角度マイナス30度)


となりました。

方程式(4つの未知数、4つの方程式)をお書きしますと、

■Bの水平成分
Ncos(-120) + 0.3Ncos(-30) +0.2N' = -MAb
これを整理すると
-0.24N + 0.2N' +2Ab = 0 .....(1)

■Bの鉛直成分
Nsin(-120) + 0.3Nsin(-30) + N' -Mg = 0
これを整理すると
-1.016N + N' = 19.62 .....(2)

■Aの水平成分
0.3Ncos150 + Ncos60 = -mAb + mAa/b (cos(-30))
これを整理すると、
0.24N +Ab -0.866Aa/b = 0 ...(3)

■Aの鉛直成分
0.3Nsin150 + Nsin60 -mg = mAa/b (sin-30)
これを整理すると
1.016N +0.5Aa/b = 9.81 ...(4)

計算結果は、次の通りです。
■N = +9.39
■N' = +29.16
■Ab: Bの加速度 = -1.79
■Aa/b: AのBに対する相対加速度 = +0.537 m/s^2
====================================================

お礼日時:2013/04/23 12:31

No.5 の補足です。

最後に一文忘れました。

運動量保存により加速度がM : m になる云々はBの下に摩擦(外力)がないときの話です。
摩擦がないときそのように左に動くのだから、静止していても左に動こうとしている(それを右向きの摩擦力がふんばっている)、動くなら左、ということです。
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高校物理の基礎的な問題で

A □→F
---------

「質量mの物体AをFの力で右に引っ張り、床と物体mの動摩擦係数をμ、重力加速度gとした時の加速度aを求めよ」

という問題で、私は運動方程式F=maより

F=ma-μmgとし

a=(F+μmg)/mとしました。

しかし、回答はF-μmg=maからのa=(F-μmg)/mとなっており

分子のプラスとマイナスの符号が逆でした。

私が最初に思ったF=ma-μmaの式はなぜ間違いになるのでしょうか?


わかりやすく教えていただけますでしょうか?
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

重要な点を誤解されているかと思います。

F=maを、”「力」は「質量x加速度」と等しい”と数式上は解釈できますが、実は意味が違います。
この解釈では、重大な矛盾が生じてしまうのですよ。
というのも、Fとaの”向き”は、(F,a>0とすると)一致します。
でも、よく考えて下さい。

ma = F + K - Z  (1)

という方程式があったとすると(a, F, K, Z > 0とすると)、
まず、aとFは、先ほどと同様、”同じ向き”(<= 良く覚えておいて下さい)です。
さて、右辺に注目すると、FとKは、”同じ向き”、Zは、F(とKとも)”逆向き”を意味しますよね?

さて、式(1)を書き直すと、

0 = F + K - Z - ma

となりますが、maの符号が(当然ながら)”負”になり、これだと、
Fとaは、”逆向き”ということになります。
これは、最初のaとFが”同じ向き”としたことと完全に矛盾していますよね。

これは、数式上の意味と、物理的意味が異なる事を意味しており、私が物理を教わった頃は、運動方程式のこの"="を、「何故無しイコール」と教えられました。
つまり、上述のような数式上の意味の”矛盾”が生じるにも関わらず、この運動方程式により、自然が明確に説明出来るからです。

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さて、運動方程式はそもそもこのように矛盾があるので、物理的な意味をちゃんと理解しなければなりません。
上記(1)を物理的に解釈すると、

「質量mの物体に、力F, K, Zが作用することで、結果的に加速度aを生じる」

ということになります。
運動方程式を立式するときは、必ず(1)式のように、

 「(質量)x(”結果的に生じる”加速度)」を左辺に、「力の総和」を右辺に書く

と言うことを、徹底して下さい(別に左辺と右辺を逆にしても数学的には同じなのですが、物理的意味があいまいにならないようにするため)。
この際、符号を間違うと、モロに上記の矛盾に引っかかりますので、運動の向き(つまり座標設定)が特に重要になります(教育の現場でもっと強調すべき点なのですがね)。

さて、この考え方で、質問者様の問題を解くと、”右向きを正にして”(<=向きの設定)、

 「(質量)x(”結果的に生じる”加速度)」=「力の総和」

=> ma = F - μmg

となります。maは、数式上”力”と一致しますが、それ自体は”力”では無い...というのが物理的意味なのです。

重要な点を誤解されているかと思います。

F=maを、”「力」は「質量x加速度」と等しい”と数式上は解釈できますが、実は意味が違います。
この解釈では、重大な矛盾が生じてしまうのですよ。
というのも、Fとaの”向き”は、(F,a>0とすると)一致します。
でも、よく考えて下さい。

ma = F + K - Z  (1)

という方程式があったとすると(a, F, K, Z > 0とすると)、
まず、aとFは、先ほどと同様、”同じ向き”(<= 良く覚えておいて下さい)です。
さて、右辺に注目すると、FとKは、”同じ向き”、Zは、F(とKとも)...続きを読む

Q加速度の方向の決め方

今日の授業で加速度を取り扱ったのですが、方向の決め方でわけが分からなくなってしまいました。

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どうして一方に向きを定めたにも関わらず、上向きと下向きに運動する物体の加速度の符号は同じままなのでしょうか?

Aベストアンサー

質問者さんの考え方でも解けると思いますよ。
要は座標系を上向きにとるか下向きにとるかの違いだけです。

 上向きに-g(m/s^2)の加速度 = 下向きにg(m/s^2)の加速度
 上向きに-v(m/s)の速度   = 下向きにv(m/s)の速度
 -h(m)の上昇        = h(m)の落下

質問者さんは右側の系列で考えようとしたわけですよね。
ところが、先生は左側の系列で説明した。
確かに質問者さんの考え方ならば落下した距離が素直に正の数で
出てくるのに、授業でのやり方では負の距離の上昇を落下と
考えようとしている。これは分かりにくい。

ですけど、ここで考えなくてはいけないのは、猿の動きと
ボールの動きとを比較しようとしていることです。
一方で上向きの座標系を使い、他方で下向きの座標系を
使ったのでは、比較しずらくないですか?
それよりも、固定した座標系で比較した方がやりやすい。
というわけで、授業では一貫して上向きの座標系を使ったのだと
思います。

ちなみに、No.3さんの疑問ですが、ボールは猿に当たります。
ボールの初速のまま等速度直線運動をする仮想的な系を考え、
それを基準にすれば、猿もボールも全く同じように落下しますから。

質問者さんの考え方でも解けると思いますよ。
要は座標系を上向きにとるか下向きにとるかの違いだけです。

 上向きに-g(m/s^2)の加速度 = 下向きにg(m/s^2)の加速度
 上向きに-v(m/s)の速度   = 下向きにv(m/s)の速度
 -h(m)の上昇        = h(m)の落下

質問者さんは右側の系列で考えようとしたわけですよね。
ところが、先生は左側の系列で説明した。
確かに質問者さんの考え方ならば落下した距離が素直に正の数で
出てくるのに、授業でのやり方では負の距離の上昇を落下と
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Q物理 摩擦力の方向の決定方法

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