摩擦の向き、加速度の向き、どちらがどちらを決める？

こんにちは、不可解なタイトルですみません。

添付の図に示す問題に出会いまして悩んでおります。
始め静止状態にあるものを解放して、三角ブロックBの加速度を求める、というものです。
ブロックAは下降するので、図に示した摩擦力fの向きは正しく予測できます。
ところが、Bが床から受ける摩擦力f’が、頭を悩ませております。
というのも、まずBが左へ動くのか、右へ動くのかがわかりません。垂直効力Nの大きさや摩擦力fの大きさによって、左にも右にも行く可能性があります。つまり計算してみないとわかりません。ところが運動方程式を立てるときは、Bの加速度の向きを予測する必要があります。そしてその逆の向きを摩擦力ｆ’の向きとしています。どのように摩擦力f’を予想したらよいのでしょうか。

ところでf’ = uN’
でN’が負の値になることはないので、必然的にｆ’が正の値になってしまい、ｆ’の向きは初めに予測する向きが正しくないと、すべての答えが間違ってしまいます・・・　

どうすればよいのかわからず、どうか解法をお教え頂けますととても勉強になります。

宜しくお願い致します。

No.15 回答者： noname_deadbeef 回答日時： 2013/04/27 16:13

はじめまして。

手順としては、すべて静止摩擦で説明できないかを検討して、無理だったら順番に動摩擦に切り替えていくのがいいのではないでしょうか。
（AとB、Bと床が固着しているとして、その接線力を力の釣り合いで求め、最大静止摩擦力以下であれば動かないはずである）
（元の問題文に最大静止摩擦係数が書いていなかったらちょっと困りますね）

Bが右に行くという計算結果にもきちんと意味はあります。
Bに右向きの摩擦力が働くということはどういうことか。それはBが左向きの初速を持っていたということです。
その状態の運動方程式を立ててみたらBが右向きの加速度を持っていた。それはつまりBが減速しつつあってそのうち止まってしまうであろうということです。
Bが止まってしまえば摩擦力は静止摩擦に切り替わります。運動方程式もその瞬間に形が変わります。

元の問題文では多分AもBも静止状態からのスタートでしょうから、最初に生じるのは静止摩擦と考えるのが自然です。

タイトルに即してまとめると、摩擦の向きを決めるのは速度の向きということです。

No.14 回答者： buturikyou 回答日時： 2013/04/23 21:52

あー、ちょっと気がついたんだけど、この問題ってこれだけの条件じゃ解けないんじゃないの？

No.13 回答者： buturikyou 回答日時： 2013/04/23 21:42

ｆ＝μＮから符号は出なくとも、運動方程式を立てて解けばわかるはずなんだけどな、つまり摩擦力を左向きを正として解けば「左向きに動く場

負になるはずだ」とおもうけど？

No.12 回答者： Quarks 回答日時： 2013/04/23 16:45

ANo.3，ANo.7 です。

　
>"Bが動くであろう”という仮定を否定する方法を考えてみたいと思います。
　
「否定する方法」なんて言うほどのものではありません。この文の下に書いてある"解答法"をご覧下さい。
　
　
静止していたＢが<<動き出したとすれば>>、必ず左向きの加速度を受けるのです。
しかし、Ｂが<<動き出したとして>>計算した結果は、右向きの加速度を持ってしまう。このことも事実です(私なりに計算して、確かにそうなることは確かめました)。
　
つまり、<<　>>のところが、初めの仮定になっているのですが、この仮定を正しいものと認めてしまうと、とんでもない結果になってしまう。それが、jecclさんが陥っている困惑の根源なのです。
　
繰り返しますが、唯一の解決＝解答は、<<　>>を否定すること
　Ｂは静止したままだった
として解くことです。Ｂに働く摩擦力は静止摩擦力だったのです。
　
　
解答に当たっては、

(1)　（jecclさんがおこなった計算を示した上で）
　Ｂに働く床からの摩擦力が動摩擦力であったとして計算をしたら、Ｂの加速度が右向きのものであるという結論に至ったが、これはＢが左向きに加速するとした出発点での仮定と矛盾するので、Ｂに作用していた摩擦力は静止摩擦力であったと考えざるを得ない。
そこで、改めて、Ｂが動かないとして定式化すると…
　
(2)　Ｂに作用する、床からの摩擦力が動摩擦力であったとすると、その大きさはｆ"(Ｂが左向きに加速度運動したとして実際に計算します)である。
一方、Ｂに作用する、他の力の合力の水平方向分力を求めてみると、左向きで、大きさはＦ(こちらも実際に計算します)である。
両者を比較すると、
　Ｆ＜ｆ"
であることがわかる。
ところで、一般に、最大摩擦力（Ｆ0)＞動摩擦力(ｆ")　が成立するので、
　Ｆ0＞ｆ"
である。
ところで、Ｂが動き始めるためには
　F＞＝Ｆ0
が(少なくとも一時的にでも)成り立ったことがあることが条件だが、
　ｆ"より小さいＦがＦ0を超えることはありえないので、"物体Ｂは動き出すことができない"。このことを元に、定式化すると…
　
　
のどちらかを選択するしかないでしょう。

No.11 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2013/04/23 00:36

なんか、群盲、象をなでるみたいな事になってますけど、まずはおかしな結果になったという運動方程式を、手間を惜しまず全部書いて見たらどうですか。

そのほうが話は早いですよ。

この回答へのお礼

hitokotonusi様、本件にコメント下さりありがとう御座います（また、いつも回答下さりありがとう御座います。）

計算結果を他の回答者様のお礼欄にお示ししました。
どうか私の解法をご確認頂き、何か誤っている点、問題点などご指摘頂けると幸いです。

どうぞ宜しくお願い致します。

お礼日時：2013/04/23 12:51

No.10 回答者： buturikyou 回答日時： 2013/04/22 21:07

メンゴ！（８）の回答者ですが、老眼でよく見えないままで答えてしまいました、今度は老眼鏡をかけて答えます・・。

そもそも図中の表示がベクトル表示でないので「よく考えて符号を決めろ」あるいは「図に書いてある通りだよ」という意味かと存じます。ここで「重力運動だが水平成分の話だから内力による運動の話と同じ」「内力による運動では重心が変化しない」と見当を立てて「左へ動く」と推論したらどうでしょうか？

この回答へのお礼

回答下さりありがとう御座います。また、図の表記がクリアでなくご迷惑をおかけしました。
皆様に回答を頂き、ようやく私も、Bが動くとしたら左しかありえない、ということが理解できました。

次なる問題は、計算結果上、Bが右に加速されるということとなり、現実では起こりえないことになってしまったということであります。この問題を理解したく、ぜひもう一度ご教示下さいますととても助かります。

私の計算結果は他の回答者様のお礼欄にお示ししました。どうか、これをご覧いただき、私の解法に何か問題があるか、もしくはこの出題に何か破綻のようなものが起きていないか、などお教え頂けないでしょうか。
（計算結果をここにお示ししたいのですが、回答者様全員のお礼欄に張り付けますと、ページが長くなって、かえって煩わしくなってしまうかと思いまして、ここには張り付けないこととしました。ご理解のほどよろしくお願いします。）、

お礼日時：2013/04/23 12:48

No.9 回答者： phyonco 回答日時： 2013/04/22 20:02

#1 Phyoncoです。

大分苦労していますね。基本的に水平方向の運動量保存の議論が正しいです。それと矛盾した結果が出たということなので、もう一度ご自分の計算を見直されてはいかがですか？他の方へのお返事をさっと眺めたところ、まずNの値がおかしいと思います。３０度なんだからN = sqrt(3)/2 * mg になりませんか？m= 1 Kg, g = 9.8 m/s^2 とするとあなたの数値は合っていません。AがBの斜面に沿って受ける摩擦力fの大きさはこのNの0.3倍ですね？で、fの水平成分はまた３０度を使えばsqrt(3)/2 * 0.3 * Nとなります。Nの水平成分は左へN/2なので、Bが受ける水平左方向の力はN/2 - sqrt(3)/2 * f = (N/2)*(1 - sqrt(3)/2 * 0.3) > 1となって、ちゃんと左方向への加速度が出てきます。

この回答へのお礼

phyonco様、返答下さりありがとう御座います。皆様に回答頂き、色々と見えてきました。たしかに、Bは左にしか動きようがありません。が、計算結果上、Bが右に加速されるため、困っております。

なお、ご指摘頂いた点ですが、
もしブロックBが動いていなければ、角度６０度方向の成分は相殺してN - mgcos30 = 0となりますが、
ブロックAの加速度は単純に角度-30度で下るわけではなく、同時にブロックBの動いているため、角度60度方向の成分がゼロにはなりません。~Aa = ~Ab + ~Aa/b (~はベクトルの矢印表記）。

私の計算結果をお示し致します。
どの点が問題か、はたまたこの出題された問題に何か破綻のようなものが起きているのか知りたく、どうか今一度議論頂ければと思います。

====================================================
四角ブロックA 質量 1kg
三角ブロックB 質量 2kg
三角ブロックの角度 Θ： 30度
AとBの間の摩擦係数:0.3
Bと床の間の摩擦係数： 0.2

これから、計算しますと、

■N = 9.39
■N' = 29.16
■Ab: Bの加速度 = 1.79 m/s^2 (方向は右向き）
■Aa/b: AのBに対する相対加速度 = 0.537 m/s^2 （方向は右斜め下向き、エックス軸に対して角度マイナス30度）


となりました。

方程式（４つの未知数、４つの方程式）をお書きしますと、

■Bの水平成分
Ncos(-120) + 0.3Ncos(-30) +0.2N' = -MAb
これを整理すると
-0.24N + 0.2N' +2Ab = 0 .....(1)

■Bの鉛直成分
Nsin(-120) + 0.3Nsin(-30) + N' -Mg = 0
これを整理すると
-1.016N + N' = 19.62 .....(2)

■Aの水平成分
0.3Ncos150 + Ncos60 = -mAb + mAa/b (cos(-30))
これを整理すると、
0.24N +Ab -0.866Aa/b = 0 ...(3)

■Aの鉛直成分
0.3Nsin150 + Nsin60 -mg = mAa/b (sin-30)
これを整理すると
1.016N +0.5Aa/b = 9.81 ...(4)

計算結果は、次の通りです。
■N = +9.39
■N' = +29.16
■Ab: Bの加速度 = -1.79
■Aa/b: AのBに対する相対加速度 = +0.537 m/s^2
====================================================

お礼日時：2013/04/23 12:41

No.8 回答者： buturikyou 回答日時： 2013/04/22 19:19

ｆとｆ’とは作用と反作用の関係ですから、法則により、ｆ＝－ｆ’以外にはなりませんよ、しっかりしてください！

No.7 回答者： Quarks 回答日時： 2013/04/22 19:16

計算が正しくなされていて、その結果、"Ｂが右への加速度を持つ"ということになったとすれば、考えられることは１つしかありません。

思考過程の途中で、幾つかの仮定をしていたはずですが、そのどれかの仮定が間違っていた、ということです。　
　
繰り返しますが、Ａが右下方向へ滑り降り、そしてＢも動くならば、Ｂは左へ動かざるをえません。
ここに２つの仮定があります。
　"Ａが滑り降りるだろう"ということ
そして、
　"Ｂもまた動くであろう"ということ
です。
　
初めの仮定は、どうでしょうか？
Ａにチョンとつついてやれば、動きそうですね。
その後滑走し続けたとしても何等不思議ではありません。どんどん速くなるかやがて止まってしまうかは、計算しなければわかりませんが、１番目の仮定には異常を認められません。
　
とすれば、２つ目の、"Ｂもまた動き出すだろう"という仮定、おそらく、これがマズイのでしょう。つまり
　Ｂは動かなかった
とするのが、正しい判断なのだろうと思います。床からＢが受ける摩擦力は静止摩擦力だったと考えれば、何等、異常は無いのですから。
　
Ｂの加速度が負になってしまうのは、床面とＢとの間の動摩擦力が大きすぎるからでしょう。もし、こちらの動摩擦係数がとても小さな値だったら、Ｂはまさに左向きに動き出すことになるでしょう。

この回答へのお礼

Quark様、再びご返答下さりありがとう御座います。

"Bが動くであろう”という仮定を否定する方法を考えてみたいと思います。

他の方にもお示ししましたが、私の計算結果（Bの加速度が右向きになってしまう）をお示しします。
以下、写し＆貼り付け、にて失礼します。

====================================================
四角ブロックA 質量 1kg
三角ブロックB 質量 2kg
三角ブロックの角度 Θ： 30度
AとBの間の摩擦係数:0.3
Bと床の間の摩擦係数： 0.2

これから、計算しますと、

■N = 9.39
■N' = 29.16
■Ab: Bの加速度 = 1.79 m/s^2 (方向は右向き）
■Aa/b: AのBに対する相対加速度 = 0.537 m/s^2 （方向は右斜め下向き、エックス軸に対して角度マイナス30度）


となりました。

方程式（４つの未知数、４つの方程式）をお書きしますと、

■Bの水平成分
Ncos(-120) + 0.3Ncos(-30) +0.2N' = -MAb
これを整理すると
-0.24N + 0.2N' +2Ab = 0 .....(1)

■Bの鉛直成分
Nsin(-120) + 0.3Nsin(-30) + N' -Mg = 0
これを整理すると
-1.016N + N' = 19.62 .....(2)

■Aの水平成分
0.3Ncos150 + Ncos60 = -mAb + mAa/b (cos(-30))
これを整理すると、
0.24N +Ab -0.866Aa/b = 0 ...(3)

■Aの鉛直成分
0.3Nsin150 + Nsin60 -mg = mAa/b (sin-30)
これを整理すると
1.016N +0.5Aa/b = 9.81 ...(4)

計算結果は、次の通りです。
■N = +9.39
■N' = +29.16
■Ab: Bの加速度 = -1.79
■Aa/b: AのBに対する相対加速度 = +0.537 m/s^2
====================================================

お礼日時：2013/04/23 12:31

No.6 回答者： noname#182106 回答日時： 2013/04/22 17:16

No.5 の補足です。

最後に一文忘れました。

運動量保存により加速度がM : m になる云々はＢの下に摩擦（外力）がないときの話です。
摩擦がないときそのように左に動くのだから、静止していても左に動こうとしている（それを右向きの摩擦力がふんばっている）、動くなら左、ということです。