No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ああ、これは失礼。
(d/dt) F(g(t)) = F'(g(t)) g'(t) と書かなきゃね。
これを t で積分すると
F(g(t)) = ∫ F'(g(t)) g'(t) dt で、
f(x) = F'(x), x = g(t) と置けば
∫ f(x) dx = F(x) = ∫ f(g(t)) g'(t) dt.
No.1
- 回答日時:
x dx = t dt で考えようとすると、
dx/dt や dt/dx でない dx や dt の意味を理解せざるを得ず、
話の難易度がかなり上がってしまう。
積分して、∫ x dx = ∫ t dt で考えたほうが無難。
置換積分を考えるだけなら、
合成関数の微分 F'(x) = F(g(t))g'(t) を積分した
∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt で理解するほうがよい。( f(x) = F'(x) )
これを f(x) = x = g(t) の場合に適用すれば、
∫ x dx = ∫ x (dx/dt) dt が導ける。
よって、x dx/dt = t となる x, t に対しては
∫ x dx = ∫ t dt だという訳。
この回答への補足
置換積分で例えば∫[0~2]√(1-x^2)dxという問題を解くとき、
x=sinθと置いて、両辺をxかθで微分し1=cosθ dθ/dx
両辺にdxかけてdx=cosθdθだから、とやっていたのですが、実際はかなりかけ離れた難易度のことをやっていたんですね
合成関数の微分 F'(x) = F(g(t))g'(t) を積分した
∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt
とあるのですが、両辺xで積分すれば
f(x) = ∫f(g(t))g'(t)dx
となり、tなら
∫F'(x)dt = ∫F(g(t))g'(t)dt
と、合わないのですが何で積分したのでしょうか?
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