積分の計算

∫1/√(1+v^2 )dv=log(v+√(1+v^2 ))　となるのはどうしてですか？

No.5 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/04/29 15:34

#2～#4です。

A#4の補足の質問

>答えがわかってない場合√(1+v^2)=xとおいたのですが、
闇雲に置換すれば積分ができる保証はありません。
この積分は高校数学レベルでは「x=v+√(1+v^2)」と置換するのが最も効率的に積分できます。この置換はまる暗記するしかありません。双曲線関数を習う大学数学レベルなら,v=sinh(x)という置換を使うのが最も効率的な積分法と言えます。

さておき
>√(1+v^2)=xとおいたのですが
>vをxで表すと+-√(x^2-1)となってしまいxに変換できません
>でした。どのようにしたらxに変換できるでしょうか？
√(1+v^2)=x(≧1)...(△)と置換する場合
v^2=(x^2-1)(≧0) → v=±√(x^2-1)
わざわざ、このようなvがxとvが1:1に対応しない置換は本来すべきではありません。
強いてするなら場合分けするしかないですね。
そして積分後、場合分けした結果をまとめるしかないでしょう。
I=∫1/√(1+v^2)dv (vは実数全体の範囲)
v≧0の場合 v=√(x^2-1),dv=x/√(x^2-1) dx
I=∫1/√(x^2-1) dx ...(■1)
v<0の場合 v=-√(x^2-1),dv=-x/√(x^2-1) dx
I=∫(-1)/√(x^2-1) dx...(■2)

となります。
(△)の置換によって困難さが同程度の積分に変わっただけで、しかも場合が（■1）と（■2）の2つに分かれた分、積分の困難さが増しただけと言えます。
なお（■1）の積分は
I=log(√(x^2-1)+x)+c=log(v+√(v^2+1))+c
（■2）の積分は
I=-log(√(x^2-1)+x)+c=-log(-v+√(v^2+1))+c
　=log{1/(√(v^2+1)-v)} +c
分母の有理化をして
　=log{(√(v^2+1)+v)/(v^2+1-v^2)}+c
　=log(v+√(v^2+1))+c
２つの場合の結果は同じになるのでまとめることができて
I=log(v+√(v^2+1))+c (全ての実数vについて)
但し,cは任意定数。
となりますが、途中計算で再度、置換積分が必要です。

素直に、過去の先輩たちが試行錯誤し苦労して見つけ出した置換「x=v+√(1+v^2)」で最も効率的に積分ができるわけですから、素直に定石として覚えておきましょう。

この回答へのお礼

定石として覚えることにします。丁寧に説明していただきありがとうございました。

お礼日時：2013/05/03 14:41

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2013/04/29 11:09

#2,#3です。

高校数学レベルなら、
x=v+√(1+v^2)(>0) ...(※)
とおくのが定石のようです。

dx=dv+vdv/√(1+v^2)
dx=dv(1+v/√(1+v^2)=dv(v+√(1+v^2))/√(1+v^2)
=xdv/√(1+v^2)
dv/√(1+v^2)=dx/x

従って
∫1/√(1+v^2 )dv=∫dx/x=log(x)+c (∵x>0)
　ここで、cは任意定数
(※)の式のxを代入し元のvで表せば
∫1/√(1+v^2 )dv=log(v+√(1+v^2 ))+c (cは任意定数)
となります。

この回答への補足

答えがわかってない場合√(1+v^2)=xとおいたのですが、vをxで表すと+-√(x^2-1)となってしまいxに変換できませんでした。どのようにしたらxに変換できるでしょうか？

補足日時：2013/04/29 12:32

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2013/04/27 20:04

#2です。

積分は微分と逆の操作です。

>∫1/√(1+v^2 )dv=log(v+√(1+v^2 ))　となるのはどうしてですか？

{log(v+√(1+v^2))}'
=(v+√(1+v^2))'/(v+√(1+v^2))
={1+(1/2)2v/√(1+v^2)}/(v+√(1+v^2))
=(√(1+v^2)+v)/√(1+v^2)}/(v+√(1+v^2))
=1/√(1+v^2)
両辺をvで積分すれば
log(v+√(1+v^2))+C=∫1/√(1+v^2) dv

左辺と右辺を入れ替えれば質問の積分の式になるでしょう！

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/04/27 19:52

v=sinh(t)とおけば　dv=cosh(t)dt

1+v^2=1+sinh^2(t)=cosh^2(t)(∵双曲線関数の公式より)
dv/√(1+v^2 )=cosh(t)dt/cosh(t)=dt
であるから
∫1/√(1+v^2 )dv=∫dt=t+C (Cは積分定数)
=arsinh(v) +C
=log(v+√(1+v^2 )) +C (∵逆双曲線関数の公式より)

参考URL
双曲線関数
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/双曲線関数
逆双曲線関数公式
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/逆双曲線関数

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/双曲線関数

No.1 回答者： noname#182106 回答日時： 2013/04/27 18:56

逆双曲線関数っていうのがありまして。

　ここの一番下。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2% …