文字式を使わない教え方

駆け出しの家庭教師をやっている者です。
中学一年の数学を教えているのですが、手持ちのテキストに載っているある発展問題を教えるにあたって困った事になっています。以下、その問題です。

「コインを投げて、表が出たら3点、裏が出たら－（マイナス）5点と決めて、A、Bの二人が7回ずつ投げる。AとBの合計点が－（マイナス）6点の時、次の問いに答えよ。

AとBは、合計で表と裏を何回出したか。　」

「解答：
AとBが合計で投げられる回数は、7×2=14回。
全て表が出た場合、二人の合計点は、3×14=42点。
表が出る回数が１回減る毎に、A、Bの合計点は8点ずつ減っていく。
よって、【42-(-6)】÷8=6
裏の出た回数は6回。
14-6=8なので、表が出た回数は8回。
A.表が8回、裏が6回。　」

現在手元にテキストがないので復元したものですが、大体こんな感じです。
この問題はまだ文字式に入っておらず、この問題は正負の数で扱われています。
なのでこういった解答になるのはやむを得ないのかもしれませんが、上記の解答で子供が納得出来るようには思えません。

結局、得点の移り変わりを表にして、目に見える形にしようと考えているのですが、どうもしっくり来ません。

そこで、もし「これ！」という考え方、教え方を御存知の方、どうかご協力お願いします。

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/29 21:39

A No.6 に同意。

相手は中学生なんだから、
「これは鶴亀算。算数で既習だね」で終わらせるか、
気合を入れて文字式を教え始めるか、どちらかでしょう。
数学の授業として鶴亀算の内容を教えるのは、
全くの無駄です。

No.6 回答者： lazydog1 回答日時： 2013/04/29 16:59

>AとBが合計で投げられる回数は、7×2=14回。

　AとBの二人かどうかは無関係ということですね。

>全て表が出た場合、二人の合計点は、3×14=42点。

　ここだけ意図を理解しようとしてもできません。次への布石です。しかし、もし全部表がでたら42点というのは、分かるはずです。算数・数学ではこういう「もし」で考えることががよくあります。

>表が出る回数が１回減る毎に、A、Bの合計点は8点ずつ減っていく。

　試行回数は14回と設問で決まっていますから、全部表の場合かどうかに関係なく、もし表が出る回数が1回増えれば、裏が出る回数は1回減ります。すると、5-(-3)＝8点へります。-8点です。

>よって、【42-(-6)】÷8=6

　ここで少し飛躍してますね。または式が分かりにくい。

　全て表だったら42点です。しかし、実際には-6点であるわけです。そこで、もし合計得点が-6点をカバーするとしたら、42-(-6)＝48点です。-6点を0点に補正してみる、と考えてもいいかと思います。これも次への布石です。

　引算なのは、合計得点がプラスの数のときの見方をマイナスへ延長しているからです。プラスの点数を0点に補正するなら引算が素直です。でもすぱっと、42+6＝48点でもOKです。

　その48点になるのは、1回8点（8点/回）で表の回数が減る、言い換えれば裏の出る回数が増える効果により出てくればいいわけです。ここが、なかなか分かりにくいところではないかと思います。

　この問題、文字式を使わないならつるかめ算なんですが、つるかめ算で最も理解するのに手間取るところではないかと思います。

　なにはともあれ、すると、48÷8＝6回。

>裏の出た回数は6回。

　こうして、裏が出た回数を0回から6回まで増やせばいいことが分かりました。

>14-6=8なので、表が出た回数は8回。

　合計試行回数は14回と分かっていますから、残りは表が出たわけで、14-6＝8回。

>A.表が8回、裏が6回。

　答としてはこうなります。

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　模範解答はつるかめ算ですが、ちょっと趣向を変えてみましょうか。

　コインを投げる試行回数は7×2＝14回。合計得点の-6点は裏の-5点の整数倍ではありません。まずこの-6点が出てくることだけ考えてみます。

　もし表と裏が1回出たと考えると-3-5＝-2点です。-6点になるには、少なくともこれが3セット（合計2×3＝6回）あるということかもしれません。そうだとして進んで見ます。

　残る試行回数は14-(2×3)＝8回です。もし8回の試行で得点が0点になれば、14回試行での合計得点は上で出て来た-6点になります。ここでつるかめ算に帰着してもいいですが、せっかく避けてみたので、少し踏みとどまれないか、粘ってみます。

　3と5の最小公倍数は15ですから、表が5回で3×5＝15点、裏が3回で-5×3＝-15点で、合計0点です。そして、5+3＝8回ですから、ちょうと8回の試行回数にもなっています。

　ということは、表が3+5＝8回、裏が3+3＝6回だということになります。これしかないという証明は省略します。

P.S.

　偶然に頼った解き方で、文字式を用いないなら、地道につるかめ算に戻るのもアリです。

　……せっかく中学数学で文字式を使いだすし、今は小学校でも文字式（最初は□などの記号を使う）は少しやります。

　つるかめ算含めて何々算と呼ばれる算数の難問に戻って理解するのは、もったいない気もします。文字式、さらに連立方程式を使えば、何々算は全て同じことですから。

No.5 回答者： noname#180442 回答日時： 2013/04/29 16:44

　面倒かもしれませんが、樹形図を描いてみたらどうでしょうか。

No.4 回答者： j-mayol 回答日時： 2013/04/29 16:39

解答：

AとBが合計で投げられる回数は、7×2=14回。
全て表が出た場合、二人の合計点は、3×14=42点。
表が出る回数が１回減る毎に、A、Bの合計点は8点ずつ減っていく。
よって、【42-(-6)】÷8=6
裏の出た回数は6回。
14-6=8なので、表が出た回数は8回。
A.表が8回、裏が6回。　

他の回答者様もおっしゃっていますが、鶴亀算の考え方そのままです。

＞得点の移り変わりを表にして、目に見える形にしようと考えているのですが、
小学生用の算数ドリルには鶴亀算の導入として、表を穴埋めさせ、規則性を発見する問題が掲載されています。この場合の規則性は「表が出る回数が１回減る毎に、A、Bの合計点は8点ずつ減っていく。」ですね。

または、美しくはないですが、表５回と裏３回で合計点が０になる。表と裏１回ずつで合計点は-２になることを利用しても解答にはたどり着けるでしょう。

No.3 回答者： Charlie24 回答日時： 2013/04/29 16:09

これってやっていることは鶴亀算ですよね。

鶴亀算の説明は大丈夫ですか？

No.2 回答者： wintry_air 回答日時： 2013/04/29 16:05

　とある塾の講師です。

　時間があるようなら、一番いいのは実際にコインを用意して３点、―５点と計算してみることです。
　体験・実践するだけで、子供の理解力はぐんと上がります。

　私が説明するとしたら、こうなります。

「Aさんが７回投げてBさんも７回投げるから、合わせて１４回投げることになるでしょう？
　これ、分かるかな？　足し算なんだけど。

　全部表だったら、３×１４で何点になるでしょう？
　そうだね、４２点だね。

　で、１回裏だったら？　３×１４の１４は回数だから引いて１３回にして、３×１３、そして-５点だから３４点だね。
　じゃあ、２回裏だったら？　野球じゃないゾ（笑）　うん、１２回×３点、裏が２回出たから２回×（-５）点。
　　２６-１０で１６点になるよね。

　あれ？　ちょっと近くなってきたねえ。
　じゃあ、３回以上なのは分かるから、好きな数字入れてやってみてごらん。
　裏が何回だと合計が-６になるか。
　３点×（１４-裏）回＋（-５点）×裏（の回数）＝-６になる、よね？
　ほら、公式できた。
　３×（１４-う）+（-５）×う＝-６だね。
　４２-３う-５う＝-６
　４２-８う＝-６
　　　-８う＝-６-４２＝-４８
　ここらへんの式の計算はできるかな？
　　　う＝-４８わる-８で、６回。
　　うらが６回だから表は８回になるよね。
　どう、分かった？
（分からない場合は）どこが分からなかった？　ついてけなかったのどこ？（以下続く）」

　でも、家庭教師は時間の制限がありますからね。
　文字式はダメといいつつ「う」を使ってしまっていますが、逆に今のうちから教えておいたほうが、たとえ学校でまだ教えていなくても、理解の幅が広がるからいいんじゃないかと。

　参考になれば幸いです。

No.1 回答者： noname#182106 回答日時： 2013/04/29 15:52

>上記の解答で子供が納得出来るようには思えません

中受算数なら基本パターンですので、ある意味小学生レベルですけど。