y'*y"-(y')^2-1=0の非線形微分方程式

y*y"-(y')^2-1=0の非線形微分方程式

y*y"-(y')^2-1=0の非線形微分方程式を解くと、y=A*(exp(a*x)+exp(-a*x))が解になるそうですが、y'=pと置いてみても解けません。この微分方程式は解けるのでしょうか。解けるのならば、方法を教えていただきたいです。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/03 23:54

y = exp z で置換すると、

原式は z''exp(2z) - 1 = 0 となる。
z'z'' = z'exp(-2z) と変形してから積分すれば
(z')2乗 = (定数) - exp(-2z) で、
開平すれば、変数分離形になっている。

なんでこんな置換を思いついたかというと…
yy''-(y')2乗 が商の微分で見かける形であることに注目して、
両辺を y2乗 で割ってから積分すると、
log y = ∫∫(1/y2乗)dxdx となる。
この式を眺めていると、y = exp z と置きたくならない？

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2013/05/03 22:13

(1/2)*(y^2)'=y*y'

(y*y')'=y*y"+(y')^2

非線形だから、上みたいに2乗を微分してみたら？