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すみません。文系卒のものでアインシュタインの子供用の伝記を読んでおります。特殊相対性理論自体は簡易的に理解した(つもり?)ですが
その伝記では特殊相対性理論からE=mc2が導き出されるとあるのです。

これがイマイチよくわかりません。簡単にご説明いただけるとありがたいのですが…

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A 回答 (7件)

 #6です。



 こういうトリビアちっくな話を聞いてもらえるって、本当に嬉しいな(^^❤)。


>上のパラグラフ3ででてくるベクトルについてこれは今は当たり前の
ベクトル解析が当時では最新技術だったということでしょうか?

 ベクトル解析の基本的な結果は18世紀には出ていたのですが、今のように誰でもが(学生でも)使える形に整備されたのは、やはり20世紀に入ってからでした。

 テンソル解析についても、18世紀のコーシーが既に「テンソル」という用語を用いてますので、基本的な結果は18世紀には出ていました。しかしベクトル解析とテンソル解析が現代風に整備されるためには、その著端となった19世紀のグラスマンの仕事が必要でした。

 グラスマンもまた変な人で、数学科の学生だったにも関わらず、神学科の講義ばかりを取る偽学生(?)生活を送り、神学科の講義から今風の線形代数の行き方を着想したそうです。おかげで教授の覚えは悪く、論文を出しても無視され、就職にも苦労し・・・と、なんかアインシュタインに通じるものがありますよね(^^;)。


>・・・数学科の博士号を・・・

 工学系の学位(博士号)は持ってますが、だからといって数学が得意かというと・・・(^^;)。自分は工学系なので特に思いますが、理工系の技術は計算出来てなんぼ、計算出来て当たり前というところがあります。計算もできねぇ~くせに、思想など語るなどおこがましい、というところは確かにあります。

 でもここで述べたような「耳学問」は出来るんですよ(^^)。

 それはそれなりの数学史なり物理学史を読めばOKです。少しだけ数学や物理の素養があれば、それなりの数学史や物理学史は、いつか読み解いて行けるようになります。また逆に歴史を読む事によって、理論の動機付け等がわかり、今まで摩訶不思議で意味不明だった数学/物理理論の構成や目的が見えるようになったりします(文系でも同じだと思います)。
※ただし、計算は出来ないけれど!(^^;)。

 これは、本気でやればけっこう楽しいですよ(ワクワクします)。それは理論開発や現象観察の追体験だからだと思います。こういう状況は、大学の専門課程に入れば、知らない内に身に付くものです(自分の専門分野ではそうだったので)。

 なので門外漢が門外領域の楽しみを得るには、(ちょっと頑張って)歴史を読む事をお奨めします。効率は恐ろしく「悪い」ですけどね。


 で、偉そうな事言ってるお前は、文系領域でちょっとは頑張ったの?と問われれば、・・・じつはやってない・・・、ポリポリポリ(^^;)。
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 #5です。



>・・・数学や物理教育の充実ぶりというのだけ・・・
 前回はでっかい事を書いちゃいましたね(^^;)。昔と今の詳細なカリキュラム比較なんてやった事もないので、以下は印象になります。


 電磁誘導の法則で有名なファラデイ(19世紀)は、正規教育をほとんど受けた事がなく、ほぼ独学の人です。そのためか数学もままならない、観察眼だけは鋭かった無学なアマチュアと思われがちですが、とんでもないです。ファラデイは異常に広くて深い知識を持って理論もマスターしていた、プロフェッショナルな筋金入りの実験屋です。異彩なオタク青年をアインシュタインとすれば、異常な実力を備えた製本屋の書生といったところでしょうか(←怒られそうだ(^^;))。20世紀前半の物理の碩学であったフントなどは、「近代物理においてファラデイほど沢山の重要な発見をしたものはいない」と、その著書でベタ褒めです。彼が1901年の第1回ノーベル賞まで生きていたら、間違いなく受賞したのではないかと思われます。

 一方マックスウェルは、絵に描いたような正規教育を受けた早熟の秀才(もしくは天才)でした。マックスウェルはファラデイと出会い、電磁現象に対するその余りにもビビッドな物理モデルに衝撃を受け、電磁場の研究を始めたようです。ファラデイの夢、電磁現象の物理モデルを理論化するために。

 ファラデイが数学を出来ない訳がありません。あれだけ沢山の定量的研究を残した人ですから、そのレベルは少なくとも、一般人ものではないはずです。ただマックスウェルが電磁気学のために必要とした数学は、今風に言うとベクトル解析でした。その技術は当時、昨日数学科の研究室から出てきたような最新技術でした。さすがのファラデイも、そこまでは行けなかったと思われます。

 アインシュタインにも数学が不得手だったという風評があります。特に一般相対性理論の開発においては、数学の得意な友人グロスマンに手伝ってもらったと。これは本当でしょう。必要な数学は今風に言うとテンソル解析で、これもその当時(1910年頃)は、昨日数学科の研究室から出てきたような技術でした。ただしもともと、スタイリッシュ過ぎる数学は物理的内容を不明確にすると、高度な数学は余り好きではなかったようです。それでもそのテンソル解析の中に、アインシュタイン規約という恐ろしくスタイリッシュな記法を持ち込んで名を残しているので、彼の数学も一般人レベルではありません。

 ベクトル解析やテンソル解析が現代風に整備され出したのは1920年代以降の事で、それらをさらに洗練させた微分形式の理論も出てきます。1950年頃、数学者フランダースは工学系向けに微分形式の本を書き、その序文で「10年後には微分形式の理論は、理系のみならず工学系の手足にもなっているだろう」と予想します。フランダースも自分の学生時代と1950年頃の教育環境を比較し、そう言いたくなったのでは?と邪推します(^^;)。日本ではちょうどこの頃、戦後教育が本格スタートし、先の本の翻訳は1959年に出ます。

 それから65年ほど経った今、残念ながらフランダースの言うようにはなっていません(やっぱり微分形式は難しい!)。それでもベクトル解析は今や、理工系学生の常識です(今でもそれで悩む学生は百出ですが(^^;))。テンソル解析はそれほど身近ではないですが、理工系なら一回は見るか聞いたかするはずです。

 ベクトル解析,テンソル解析,微分形式は、いわゆる(広義の)線形代数に含まれる分野です。線形代数の代表といったら、やっぱり行列です。行列って、高校の時にやった一次変換ですよ。行列で象徴的な人は、ハイゼンベルグだと思います。

 ハイゼンベルグはシュレーディンガーと共に、量子力学の基礎方程式を与えた人で、その式は行列力学と呼ばれます(1925年)。ところがハイゼンベルグは、行列を知らなかったんですよね。習った事がなかったので。それで彼は必要な技術を習得するために量子現象を研究しながら、行列を一から手習いしたそうです。

 一般相対性理論などは、数学技術と物理的内容を同時に理解して読まないと、黒魔術を読んでるような気分にさせられますから、発表当初(1910年頃)それを理解したのは世界で数人と言われています。今やそれから約1世紀です。ニュートンの時もそうでした。最新の微積分技術を引っ下げ、天上界(惑星運行)も地上界(地上の物体の運動)も一元化するニュートン力学を、発表当初(17世紀)に理解したのはイギリスで数人でした。ヨーロッパ中に普及するには、約1世紀を要しますが、今では少し頑張った高校生なら、ニュートンの運動方程式を微分方程式として解いてしまいます。

 100年前(20世紀初頭)や4世紀前(17世紀)と今では、やはり隔世の感はあると思います。我々は、けっこう幸運なのかも知れませんよね?(^^)。
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この回答へのお礼

ファラディとんでもない人ですね。
音楽会におけるファラデイはだれかというと私はショパンだとおもいます。おそらく聞いたことはある作曲家ではないでしょうか。
ショパンもまたピアニズムを限りなく現在の完成系まで近づけたとんでもない人ですが、自身ピアノの専門教育を受けたことはなかったとか。。ファラデイについてはせっかく知識をいただいたので伝記を読んで見ますね!(でも物理学での漫画伝記ってなぜかニュートン、ガリレオ、アインシュタインが多いような。。ファラディはあったかな?)

すみません!質問ばかりで。。
上のパラグラフ3ででてくるベクトルについてこれは今は当たり前の
ベクトル解析が当時では最新技術だったということでしょうか?

アインシュタインの件は私も伝記でみました!なんか驚きですよね。
テンソル解析。。これは正直。。内容を学習したことはないですね。。

ハイゼンベルク、シュレーディンガー(はシュレーディンガー方程式で有名な方ですね!内容は知りませんが。。)知識共有ありがとうございます。これらの人も調べて見ます。。と共に数学史もおもしろいですね!ここで紹介いただいただけなのに非常に吸い込まれるように見入ってしまいました。


> 一般相対性理論などは、数学技術と物理的内容を同時に理解して読まないと、黒魔術を読んでるような気分にさせられますから、

その通り!!!特殊相対性理論は幾分、文章だけでも理解できますよね~。ただ一般相対性理論は何回かトライして見たのですが無理でした。やはりそこは私の数学力のなさが原因で漫画で理解するには限界があるのでしょう(泣)

ちなみに回答者様は数学科の博士号をお持ちの方でしょうか?
ここは個人的なものなのでお答えいただかなくてももちろん構いませんが、相当深い知識をお持ちの方であろうと察しました。。。

これが最後の回答であったとしても今まで数回にわたる面白すぎる話ありがとうございました。見入ってしまいました。そのためお礼も遅くなり(言い訳?)すみませんでした。

お礼日時:2013/05/19 15:34

 エエト、横入りですが#3です(^^)。

しかも感想文です(^^;)・・・。

>・・・はたまた物理学がほぼ完成し切っているのか。

 じつは19世紀中頃に、物理学は遠からず完成されるであろうと、宣言した人がいます。絶対温度の単位K(ケルビン)で有名なケルビン卿(JJ・トムソン)です。ケルビンは、産業革命をヨーロッパ大陸のどの諸国よりも約1世紀早く成し遂げた、19世紀ヨーロッパの科学技術的最先進国イギリス(←ちょっと言い過ぎかな?)の、物理学会のドンでした(←これは本当です)。

 彼は言います。

「ニュートン力学によって説明され尽くされた宇宙には(←宇宙と言っても、実質的には太陽系を想定するのが、当時の限界だったんですが(^^))、水平線の彼方に点のような三つの暗雲(未解決問題)しかない。それらも近いうちに解決され。物理学は遠からず完成されるであろう」

と。

 宇宙なのに、水平線の彼方の暗雲なんて、なんて古典的でロマンチックなんだろう。なんて力強いんだろう。水平線の彼方の点のような三つの暗雲に、静かに上昇気流を送り込み大嵐に変えてしまったのは、じつはアインシュタインなんですけどね(^^;)。

 で、19世紀中頃の状況と現代物理を比較してみると、例えば宇宙論の方面では、ダークマターだのダークエネルギーだの(注:ダースヴェイダーではありません(^^))、無境界仮説だの虚時間だの、「ほんとかそれ!」「何にもわかってないじゃない!」というような、三つの点のような暗雲どころか、本当に大嵐を呼び起こしそうなまさにダークな暗雲が、百鬼夜行の魑魅魍魎のように横行しています。だから思うんです。

  ・まだまだ夢は見れそうですよ・・・(^^)。(ア~、早くワープが実現しないかなぁ~(^^;))


>・・・最近の物理学者でアインシュタイン波の功績を残している方っていますか?

 並み(波?(^^))っていうのが難しいんですよ。アインシュタインの時代に比べて現在は、数学/物理教育の充実ぶりは目覚ましいものがあります(色々批判はありますが)。そのぶん、技術的なルーティンワークだけが得意な自然科学者(技術者と大差ないような)が量産されたのも事実ですけれど、常識のレベルは目覚ましく上がったと思います。
※自分の根は技術者なので、ルーティンワークの重要性は骨身に染みてわかっています。

 ファンデルワールス方程式ってご存知ですか?。理想気体の状態方程式を少々理論的に拡張したものです。今では、ちょっと頑張った高校物理では、普通に教えられるようなものです。それは物理的にあり得ないような状態さえ導くという欠点すら持っていますが、ファンデルワールスはこれでノーベル章を取りました。

 物理的にあり得ないような状態さえ導くという欠点を割り引いても、ファンデルワールス方程式は発見的価値を持っていたからです。当時の物理化学や物性論の多くの謎に対する、導きの糸を与えるものだったからです(その点、ノーベル章選考委員会はプロだと思います)。ファンデルワールスはほぼ19世紀の人です。それが今、ちょっと頑張った高校物理で教えられています。

 そう考えると山中先生の修士論文だって、じつは19世紀にはトップクラスのノーベル章候補だったのじゃないの?、と思えます。

 ただアインシュタインは、19世紀末~20世紀初頭において、非常に異才というか、異彩の彩を放った物理学者ではありました。当時の伝統としては、「私は仮説をつくらない」というニュートンの教えを、19世紀の最先進国であったイギリス物理学会は墨守し、マッハの近代的実証主義はそれをほめたたえます。物理は実験事実一辺倒だったのですが、その中でアインシュタインは、異彩を放ちます。

 アインシュタインは「実験事実には余り関わらず」、当時の物理理論(今では古典論と言われます)、熱力学,ニュートン力学,電磁気学の「理論的整合性だけ」を問題にしていたふしがあります。その結果出て来たのが、特殊相対性理論です。

 実験事実には余り関わらなかったので、それは机上の空論に終わる可能性があり、アインシュタイン自身も特殊相対性理論を、試論として提出した雰囲気は濃厚です。提出時点での周囲の評価もそうだたんですよ。

 空間が縮んだり時間が伸びたりするなんて、提出時点では誰も信じませんでした。もっと現実的常識に依拠したローレンツの理論が、既にあったからです。ただ若い奴らはほっときませんでした。

 特殊相対性理論の帰結を、数学的にどんどん膨らませ、実験的検証を取り、オッペンハイマーは原爆と水爆を完成させます。 アインシュタインはかなり慌てたようです。


 アインシュタインのように「実験事実には余り関わらず」に、物理理論の論理的整合性だけを問題にしても、現実的結果はついてくるとわかったのも、じつは20世紀の事なんです。相対性原理,光速度不変の原理,一般共変性,ゲージ理論などです。

 今では既に常識になっていると思いますが、「実験事実には余り関わらずに、物理理論の論理的整合性だけを追求しても」、「ある程度」正しい結果は得られるという事を、最初に示したのは、やはりアインシュタインでした。

 そして我々は、彼が提唱した「場の概念」や「一般共変性の考え」の中に、まだいます。それらが「実験を余り省みなくても」有効なのは、アインシュタイン以前の「古典物理が文句のつけようもない程、正しかったせい」ではないのかな?、と個人的には思います。
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この回答へのお礼

ddtddtddtさんは物理学マスターですね!話が面白すぎます!高校の時の物理の先生だったらなぁ。。
ファンデルワールス方程式はしりませんでしたのでじっくりと調べるとして、高校で出てくるってやっぱり
ほんとうにじゅうような考えだったんですね。

アインシュタインの件はそれは誰も1kgの質量が光の二乗のエネルギーを持つなんて感覚的にも考えられませんものね。
やはりアインシュタインは偉大です!
ニュートンも。
すみません数学や物理教育の充実ぶりというのだけ補足願えませんか?

お礼日時:2013/05/15 18:58

余り難しく考えすぎないで,身近な所から理解しましょう。


植物が生育するためには,光のエネルギーを必要とします。
単に根から養分を吸うだけでは,成長できません。主に窒素と炭酸ガスを葉から吸収して,根から吸い上げた水や栄養素と共に光合成で成長します。葉からは余った酸素が放出されますが,吸気したときよりは温度が下がっています。つまり,光合成は,植物の質量を増加させると共に,大気中の(太陽からの)熱エネルギーを消費しています。
木を燃やすと熱を発しますが,燃えかすの灰は質量を失っています。もっとも,大量の煙を発しますので,厳密には全体の質量は左程減っては居ません。ですから不完全燃焼です。

厳密な意味での完全燃焼とは,太陽の中で行われているような核融合反応です。
4個の水素原子が1個のヘリウムへと融合したとき,ヘリウムの質量は4個の水素の質量より小さくなっています。失われた質量は,熱と光(電磁波)のエネルギーとなって宇宙空間に放出されます。
水素が燃え尽きるとヘリウムが核融合し,更に次の段階に進み,太陽の場合は鉄に代わると共に大きく膨張して最後に爆発します。大質量星は中心に中性子星を残します。巨大質量星はブラックホールを残します。

特殊相対性原理は,エネルギーを受け取ると質量が増え,放出すると質量が減少する関係を説明するものです。
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この回答へのお礼

太陽の核融合ですか。

アインシュタインてやはりすごいですね。そういう議論を解決できるまで物理学の完成度をあげたのですね。

山中先生とかがノーベル賞とってますが、最近の物理学者でアインシュタイン波の功績を残している方っていますか?

そういうひとがなかなかでてこないのかはたまた物理学がほぼ完成し切っているのか。どちらなのでしょうね?

お礼日時:2013/05/14 14:09

 エエトですね、特殊相対性理論からE=mc^2が導かれたと言っても間違いではないのですが、微妙な差異があるんですよ(^^;)。



 ガリレイ変換はご存知ですよね?。この言葉は初耳かも知れませんが、常識的な話です。自分に対して速度vの一定速度で走ってる車の位置x’は、自分の位置xから時間tに従って、x’=x+vt とどんどん離れて行くし(追い抜かれた!)、相手車両内の時間t’は、自分の時間tと同じt’=tという、当たり前の話です。

 アインシュタインの子供用の伝記を既に読まれているので、ニュートン力学が、このガリレイ変換にぴったり沿うものだと言う事は、わかると思います。

 ところが特殊相対性理論は、ガリレイ変換は近似理論だったと言います。相手車両が非常に高速な場合には、ガリレイ変換を拡張したローレンツ変換でなければならないと・・・(^^;)。

 ニュートン力学は、ガリレイ変換にぴったり沿うものなので、特殊相対性理論が提出された時点で、ニュートン力学の「拡張」も必要になったんです。なぜ拡張する気になったかと言うと、それは低速域では、間違いなく正しいものだったからです。

 その結果が、相対論的力学です。これはニュートン力学の拡張なので、ニュートン力学を否定するものでは全くありませんが、そのローレンツ変換に関する拡張部分において、物体が持つ運動エネルギーに比例して、その物体の質量が増えるという結果が出てきます。その比例定数が、1/c^2でした。m=E/c^2です。ここからE=mc^2となります。

 これが机上の空論に終わる可能性はありました。でも原子爆弾は炸裂してしまったんですよ。E=mc^2に従って・・・。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。なんか素人からしても衝撃ですよね。1gの質量を持つ物体が高速の二乗のエネルギーをもつなんて。。

お礼日時:2013/05/14 09:01

別の考え方として物体が運動するときそのエネルギーはE=mv^2/2


これは同じ力を加えて加速したときのエネルギーです。
最初力を強くして徐々に力を少なくして加速すると、そのエネルギーは上に曲がった曲線の下側の面積になりもっと大きいエネルギーが必要のなります。
では、一気に加速して光の速度まで加速したとした場合のエネルギーはE=mc^2となります。
光の速度まで加速するとその物体は見えなくなり消滅し、すべてがエネルギーに変わると考えます。
「特殊相対性理論とE=mc2の関係について」の回答画像2
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この回答へのお礼

すみません。

>では、一気に加速して光の速度まで加速したとした場合のエネルギーはE=mc^2となります。
これは3/2mc^2ではないのでしょうか?

最後に
>光の速度まで加速するとその物体は見えなくなり消滅し、すべてがエネルギーに変わると考えます。

ここの部分がわかりません。余力がありましたら補足いただけたら嬉しいです。。。

お礼日時:2013/05/14 09:03

たぶん高速で運動する物体の質量が重くなる、というのはいいでしょうね?


長さが短くなる式や時間が延びる式なんかと一緒によく出てきますから。
これは添付の図で(2)で表すことができます。左の2つの部分だけ見てください。

さて、じゃ、説明を始めますね。
まず準備として、(1)の式を見てください。
√(1-v^2/c^2)
というのは、特殊相対性理論でよくお目にかかる部分です。
mは運動している物体の質量、m0はその物体が静止しているときの質量、vは物体の速度、cは真空中の光の速度です。

これは式(1)の一番右のように書き直すことができます。
v/cが小さいところでは、こういう風に近似していいことになっています。
こういう風に自乗になおしたり、自乗を開いたりするのは物理全般の計算でよく出てくるやり方です。

この(1)の結果を使うと、(2)の運動する物体の質量の式をこういう風にあらわすことができます。

(2)の一番右の辺と一番左の辺を取り出して、整理しなおすと(3)のようにあらわすことができます。

さらに整理すると、(4)のようにあらわすことができるわけです。

私の教科書には、ここでアインシュタインは、運動する物体の全エネルギーは mc^2 で表すことができるんじゃないだろうかと考えた、と書いてあります。
そうすると、運動する物体の全エネルギーは mc^2が、m0c^2 と mv^2/2 の部分に分けることができる、というのが、式(4)の意味です。

mv^2/2 は言わずと知れた運動エネルギー。
じゃ、m0c^2 は?
速度が0でも残ってるこれって何?もしかして、物体そのもの(この式でいえば質量)がまんまエネルギーなんじゃね?
・・・・・とアインシュタインが考えたどうかは知りませんが、とにかく、そういうことなのです。

光速度一定という仮定から、時間が延びるとか、質量が重くなるとか、質量とエネルギーが等価だという計算は、中学生の数学の計算で全部できるんですね。

もっとおどろおどろしい式がお好みなら、ウィキペディアをどうぞ
http://ja.wikipedia.org/wiki/E%3Dmc%C2%B2
「特殊相対性理論とE=mc2の関係について」の回答画像1
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この回答へのお礼

高速で運動する物体は時間がやがて止まるというのは知ってましたが質量が重くなるは知りませんでした。

でも回答いただいた考え方非常に分かり易かったです。wikiは事前に見たのですが仰るとおりひじょうにおどおどしく理解できなかったのです。

ありがとうございます。

お礼日時:2013/05/13 00:07

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