二次曲線の式がわかりません

１、頂点が原点にあり、点(３、２７)を通る。
２、y＝３x＾２が点(－1,11)、点(1,-1)を通るように平行移動した

詳しく説明してくださると、ありがたいです。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/14 01:07

1

頂点が原点にある2次曲線なので
　y=ax^2
とかける。これが点(3,27)を通ることから、座標点の値を代入できる。
　27=a*3^2 ∴a=3
従って2次曲線の式に代入して
　y=3x^2 …(1) ←（1の答え）

2
x軸正方向にa, y軸正方向にbだけ平行移動した2次曲線の式を
　y=3(x-a)^2 +b　…(1)
2点の座標(－1,11)、点(1,-1)を代入
11=3(-1-a)^2 +b, -1=3(1-a)^2 +b
3(a+1)^2 +b=11 …(2), 3(a-1)^2 +b=-1 …(3)
この２つの式をa,bの連立方程式として解くと
(2)-(3)より 12a=12 ∴a=1
(2)に代入 12+b=11 ∴b=-1
求めたa,bを(1)に代入
　y=3(x-1)^2 -1 ←2の答え
または
　y=3x^2 -6x+2 ←2の答え

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2013/05/14 00:30

設問1

頂点が(0, 0)にあるので、y = ax^2の形に書ける。
(3, 27)を通るから、27 = 9a, a = 3
∴y = 3x^2

設問2
y = 3x^2をx方向へa, y方向へbだけ平行移動した関数は、
y - b = 3(x - a)^2と書ける。
(-1, 11)を通るから、
11 - b = 3(-1 - a)^2 …… (1)
(1, -1)を通るから、
-1 - b = 3(1 - a)^2 …… (2)
(1)より、
11 - b = 3(a^2 + 2a + 1) = 3a^2 + 6a + 3
3a^2 + 6a + b = 8 …… (1)'
(2)より、
-1 - b = 3(a^2 - 2a + 1) = 3a^2 - 6a + 3
3a^2 - 6a + b = -4 …… (2)'
(1)' - (2)'より、
12a = 12, a = 1
(1)'または(2)'に代入して、b = -1
y + 1 = 3(x - 1)^2 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3x^2 - 6x + 3
∴y = 3x^2 - 6x + 2