中間値の定理

実数a、bに対して連続関数f(x)が
lim[x→1]f(x)/(x-1)=a、lim[x→2]f(x)/(x-2)=b
を満たしている
ab＞0であるとき、1≦x≦2の範囲で方程式f(x)=0は少なくとも3個の解を持つことを中間値の定理を用いて示せ



示し方やヒントなどを教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/17 21:02

与えられた条件は、f(1)=f(2)=0 を含む。

これで、3 個の解のうち 2 個は見つかったから、
1＜x＜2 の範囲に、あと 1 個の解があればいい。

1＜x＜2 のとき g(x)=f(x)/((x-1)(x-2)),
g(1)=-a, g(2)=b という g(x) を定義する。
g(x) は 1≦x≦2 で連続となり、
g(1)g(2)=-ab＜0 が成り立つ。
よって、中間値定理より、1＜c＜2, g(c)=0
となる c がある。f(c)=0 である。

この回答へのお礼

分かりました
ありがとうございました

お礼日時：2013/05/18 12:23

No.1 回答者： berokanda 回答日時： 2013/05/17 20:42

方針を書くので詳細を自力で埋めてください。

a,bの存在からf(1)=f(2)=0がいえる。

ab>0⇔a>0,b>0 or a<0,b<0のように２つに場合分けする。

a>0,b>0のとき、
r>0,s>0,A>0,B>0が存在して1<x<1+A,2-B<y<2なる任意のx,yについて
f(x)/(x-1)>r,f(y)/(y-2)>sとなる。
ここからf(x)とf(y)が異符号になることを示し、中間値の定理を使う。

a<0,b<0のときも同様。

この回答へのお礼

分かりました
ありがとうございました

お礼日時：2013/05/18 12:15