【先着1,000名様!】1,000円分をプレゼント!

原点中心半径1の球の球面とユークリッド平面に一点を加えた集合は同相であることを示します。
いわゆる、立体射影というやつです。

まず、球面の北極点(0,0,1)を除いた集合から、ユークリッド全平面への写像が、
立体射影の方法で与えられていて、これが同相であることは認めていいとします。


次に、ユークリッド平面上にない、無限遠点∞をユークリッド平面に加えた集合を考え、
球面からその集合への写像Fを、fを拡張し、F((0,0,1))=∞ という風に設定します。
このとき、Fが(0,0,1)で連続であることを示したいのですが、やり方がわかりません。


どなたか詳しく教えていただけないでしょうか。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

補足質問の要点は、


開部分空間の開集合は、母空間の開集合、
閉部分空間の閉集合は、母空間の閉集合だけれども、
f^-1(K) は、開部分空間 S^2\{p} の閉集合だから、
S^2 の閉集合だとは限らないじゃないか
…ということですか?

K は、単なる閉集合ではなく、コンパクトです。
K を覆うひとつの有限開集合の閉包を C と置けば、
f^-1(K) は、閉部分空間 f^-1(C) の閉集合なので、
S^2 の閉集合になります。

これを使って、補足文中の証明より、
F は p でも連続と言えますね。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

補足回答ありがとうございます。

f^-1(K)がS^2にてコンパクトであることを示せました。
S^2はハウスドルフ空間なので、これよりf^-1(K)
がclosed setであることもいえました。

お礼日時:2013/05/22 23:17

一点を加えれば同相になるというものじゃないです。


同相になるように、「一点」の近傍を決めなきゃならない。
それが可能だということが証明できるだけです。

球面上での北極点の近傍系を F で写像したものを
ユークリッド平面+一点での ∞ の近傍系と定義すれば、
連続写像の定義よりただちに、F は連続となります。

この回答への補足

何度も回答ありがとうございます。
R^2∪{∞}の位相を、
{R^2の開集合系}∪{(R^2∪{∞})\K}
ただし、KはR^2のあらゆるコンパクトな集合

という風に定めれば、これはちゃんと位相になるらしいのですが、この位相の下、pでFがちゃんと
連続になるのが示せないのです。


おそらく、
『球面上での北極点の近傍系を F で写像したものを
ユークリッド平面+一点での ∞ の近傍系と定義すれば』という部分を解決するためだと思うのですが、
具体的に、この位相でFがpで連続であることの
証明を、教えていただけないでしょうか。


とりあえず自分の考えを書いてみます。
定義にのっとって、
F(p)の任意の近傍Uに対し、
pの近傍Vが存在して、F(V)⊂Uとなることを示せばいいですよね。
UがF(p)の近傍なので、
R^2∪{∞}の開集合V'が存在して、
F(p)=∞∈V'⊂U
となり、
これから
V := F^-1(V')⊂F^-1(U)
だから、p∈Vで、
F(V)⊂Uであります。

このVがS^2のopen setであればいいのですが、それを示すことができないのです。

V'は、R^2∪{∞}の位相の定義より、
(V'は∞を含んでいるから、)
V'=(R^2∪{∞})\Kと表せます。

だから、
F^-1(V)=F^-1((R^2∪{∞})\K)
=S^2\F^-1(K)であり、
F^-1(K)はf^-1(K)と同じだから、
Kがコンパクト、つまり有界閉集合で、
f^-1の連続性よりf^-1(K)も閉集合。

だから、S^2\F^-(K)は開集合である。
みたいにテキストにかいてあるのですが、
なぜこれがいえるのでしょうか。
f^-1(K)は、S^2\{(0,0,1)}の閉集合なんだからといって、S^2の閉集合であるとはいえないですよね。









それとも、この位相のいれ方が間違っているのでしょうか。何か混乱しているところがあればごめんなさい。

補足日時:2013/05/20 20:04
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q図形同士が同相であるという証明

上半球面P={(x,y,z)∈R~3|x~2+y~2+z~2=1,z≧0}で、E={(x,y,z)∈R~3|x~2+y~2+z~2=1,z=0}を赤道とする。このときPに関係 x~-x(∀x∈E)で生成される同値関係”~”を考えて得られる商空間P/~が、2次元射影空間P~2と同相になることを示せ。

この問題なんですが、図では確かにどちらも同じ形になるので、同相になるんだろうとは思うんですが、その証明になると手が止まってしまうんです。方針としては、やはり同相写像が存在することを言えばいいのでしょうが、それをどのようにとればいいのか(全単射で逆像も連続なもの)がまったく思い浮かびません。
これは慣れとか経験から出てくるものなんでしょうか?だれか解法のヒントと、後者のコメントをお願いします。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

この議論を平たく言うとこんな感じです。

P^2の定義である、(x,y,z)∈R^3-{0}に対して
(x,y,z)~(x',y',z') ⇔ x'=λx, y'=λy, z'=λz(λ≠0)
という同値関係というのは、R^3内で原点を通る直線を1点に縮めるということ。
縮めた1点をどこに置こうか?そうだ!半径1の球面上(S^2)に置こう。
そうすると縮められた1点はすべてS^2上に来ます。
ただし原点を通る直線は、S^2と2点で交わっている。
その2点は原点に対して対称な点(対心点)だ。
ということは初めから上半球面Pを考えてやればよい。
ただPがZ=0の平面と交わる部分は、対心点同士をくっつけてやる必要がある。
それがP/~。

この議論を精密化すれば、P/~が2次元射影空間P^2と同相だということを証明したことに
なります。

【証明】
f:R^3-{0}→Pを
z≧0の時、f(x,y,z)=(x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), z/√(x^2+y^2+z^2))
z<0の時、f(x,y,z)=(-x/√(x^2+y^2+z^2), -y/√(x^2+y^2+z^2), -z/√(x^2+y^2+z^2))
と定義します。

点A=(x,y,z)、点B=(λx,λy,λz)に対して(λ≠0)、
f(A)=f(B)なので、fと同じ式でf~:P^2→Pが定義できます。

さらに(x,y,z)のP^2での同値類を[x,y,z]と書くとすると、
f~[x,y,0]=(x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), 0)
f~[-x,-y,0]=(-x/√(x^2+y^2+z^2), -y/√(x^2+y^2+z^2), 0)
で、[x,y,0]と[-x,-y,0]はP^2での同値類の意味で等しく、
また右辺はP/~の同値類の意味で等しいので、f~~:P^2→P/~が定義できます。

(x,y,z)のP/~での同値類を[[x,y,z]]と書くとします。g:P/~→P^2を
g[[x,y,z]]=[x,y,z]
で定義すると、P/~、P^2の定義よりwell-definedです。
f~~,gは共に連続で、
g・f~~[x,y,z]=g[[x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), z/√(x^2+y^2+z^2)]]
=g[[x,y,z]] (x^2+y^2+z^2=1 だから)
=[x,y,z]
f~~・g[[x,y,z]]=f~~[x,y,z]
=[[x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), z/√(x^2+y^2+z^2)]]
=[[λx,λy,λz]] (λ=1/√(x^2+y^2+z^2)とおく)
=[[x,y,z]]
となってg・f~~とf~~・gは共に恒等写像ですから、同相写像。
ゆえにP^2とP/~は同相です。

これでOKと思いますが、いかがでしょう?
------
位相数学をやっていて、最初によくつまってしまうのが商空間(等化空間)。
群論でも商群(剰余群)がつまりやすい。
でも大学数学はこの"商"の考え方がよく出てくるし、また重要でもあります。
この辺はたくさんの問題を解いて、慣れていくしかないと思います。

あとは自分でじっくりと考えてください。
私にはこれ以上、わかりやすく説明ができません。

この議論を平たく言うとこんな感じです。

P^2の定義である、(x,y,z)∈R^3-{0}に対して
(x,y,z)~(x',y',z') ⇔ x'=λx, y'=λy, z'=λz(λ≠0)
という同値関係というのは、R^3内で原点を通る直線を1点に縮めるということ。
縮めた1点をどこに置こうか?そうだ!半径1の球面上(S^2)に置こう。
そうすると縮められた1点はすべてS^2上に来ます。
ただし原点を通る直線は、S^2と2点で交わっている。
その2点は原点に対して対称な点(対心点)だ。
ということは初めから上半球面Pを考えてやればよい。
...続きを読む

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Q同相でないことを示す問です。

「実数1次元ユークリッド位相空間と実数2次元ユークリッド位相空間」が同相でないことを示せ。という問について教えてください。
方針として、二つの濃度を求めて、それらがイコールにならないことをいえばいいと考えました。実数1次元ユークリッド位相空間の濃度は、?ですが、実数2次元ユークリッド位相空間の濃度は、どのようにしてもとめるのでしょうか?
 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

残念ながら、実数体をRと書くことにして、RとR^2は等濃(濃度は等しい)です。つまり、R^2からRへの全単射gは存在するのですが(証明は適当な資料を参照してください)、ここでR^2からRへの全単射gは絶対に『連続でない』事を言えばよいです。

方針は、例えばRの閉区間I = [0,1]からR^2への写像hをh(t) = (cos(2πt), sin(2πt))で定めると(原点を中心にクルッと一周するような写像)、hは連続で、h(x) = h(y)かつx<yとなるのは明らかにx=0, y=1の時だけです。そこで、R^2からRへの連続な全単射gがあるものとし、g○h=jを考えると、jはI=[0,1]からRへの連続な写像で、またj(x) = j(y)かつx<yとなるのはx=0, y=1の時だけです。

ところで最大値の定理からj(I)は最大値及び最小値を持ちます。このうち少なくとも一方はj(0)とは違うのでその値をmとすると、j(0)とmの間の数を考えた時、中間値の定理からなんだか変な事になっている事を示せばよいです。

Qgrad、div、∇

物理なのか、数学なのかという感じなのですが・・・。

まず、grad、div、∇について、分かりやすく教えていただけませんか?。
それから、たとえば、圧力pがあったとして、「grad p」の物理的意味を教えて頂けるとうれしいです。

数学も物理も苦手なので、詳しく分かりやすく教えて頂けると幸いです。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ふつうの関数 f(x) では,x を動かしたとき,
f(x)の変化の様子が f'(x) = df(x)/dx で表されますね.
これの3次元版が grad と思えばOKです.

例えば,圧力 p なら,それが一般には場所によって変わります.
x,y,z の3座標で場所が指定できますから,p は x,y,z の関数で
p(x,y,z) と書けばよろしい.
そこで,場所を動かしたとき,p の変化の様子が知りたいとします.
でも,動かすと言ったって3次元なんだから,方向を決めないと困ります.
そりゃ,そうですよね.
大気圧考えてみれば,今いる場所から
水平方向に 10km 動いたってあまり気圧は変わりませんが,
空の方向に 10km 動けばエベレスト
(最近は,チョモランマとかサガルマータとか呼ぶかな)
より高くなって,気圧はうんと下がっちゃいます.
で,y,z 方向には全く動かず,x 方向にだけ動いたとします.
このときの p の変化の割合は,偏微分を使って ∂p(x,y,z) / ∂x ですね.
同様に,x,z を固定して y だけ動かせば,変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂y,
x,y を固定して z だけ動かせば,変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂z.
つまり,以上の3つの偏微分で変化の様子がわかります.
ばらばらに3つ扱ってもいいですが,
ベクトル表示にして
x 成分が ∂p(x,y,z) / ∂x,
y 成分が ∂p(x,y,z) / ∂y,
z 成分が ∂p(x,y,z) / ∂z,
というベクトルにしたのが grad p です.
ベクトルにしておくと,
表示が簡単なことの他にもいろいろ便利なことがあります.

なお,creol さんの回答ははちょっと混乱されているようです.
p は圧力(の強さ)そのもの,grad p は p の変化の割合です.
その場所での圧力は p です.

div は,creol さんも書かれているように,発散です.
極限値が発散する,などの発散とは全く違いますので,念のため.
例えば,水流中に仮想的な直方体を考えてください.
水流は流れの方向がありますからベクトル量ですね.
で,場所にもよりますから,j(x,y,z) と書きましょう.
テキストファイルじゃうまく書けないですが,j はベクトルです.
この直方体の面を通って単位時間あたりに流れ出ていく水量(流出量)が
本質的に div j です(本当はちょっと修正がいる,後述).
直方体の6面分全部考えてくださいよ.
水量ですから,スカラー量ですね.
え? 流出量ばかりじゃ直方体の中の水がどんどん減っちゃう?
ええ,それでいいんです.
つまり,div j は直方体の中の水量ρ
(スカラー量,本当は密度ですが)
の単位時間あたりの減少分を表しています.
式で書くなら, div j = - ∂ρ / ∂t です.
右辺のマイナスは減少だからついているんです.
ふつうの水流(例えば,川なんか)なら?
div j の計算のときに,流出量をプラスとして考えているので,
入ってくる分(流入量)はマイナスで考えてください.
ごくふつうに川が流れているとき,
上流の方から流入量と,
下流側への流出量は同じですよね.
そうすると,プラマイうち消して,div j = 0,
直方体の中の水量は時間変化しません.

え,直方体の大きさ?
あ,それはですね,十分小さくとってください.
小さくとれば,流入量も流出量も小さくなっちゃう?
実は,正味の流出量を直方体の体積で割って
直方体を小さくした極限が本当の div j です
ρが本当は密度だと言ったのもこういうところと関係があります.

微分で表現すれば
div j(x,y,z)
= ∂jx(x,y,z) / ∂x + ∂jy(x,y,z) / ∂y + ∂jz(x,y,z) / ∂z
です.
jx は j の x 成分,他も同様.


∇の記号は creol さんの書かれているとおり.
読み方は「ナブラ」(nabla) です.
ちょっと変わった名前ですが,
竪琴(形が似ている)のギリシヤ語名から来ています.

grad,div,と並んでベクトル解析でよく出てくるものに
rot (rotation,回転)があります.

わかりやすく,ということで回答してみました.

ふつうの関数 f(x) では,x を動かしたとき,
f(x)の変化の様子が f'(x) = df(x)/dx で表されますね.
これの3次元版が grad と思えばOKです.

例えば,圧力 p なら,それが一般には場所によって変わります.
x,y,z の3座標で場所が指定できますから,p は x,y,z の関数で
p(x,y,z) と書けばよろしい.
そこで,場所を動かしたとき,p の変化の様子が知りたいとします.
でも,動かすと言ったって3次元なんだから,方向を決めないと困ります.
そりゃ,そうですよね.
大気圧考えてみれば,今いる...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Q3次元座標2点からの直線式の求め方

お世話になります。

3次元座標2点からの直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。

2次元座標であれば、1つの傾きから算出できるのですが、3次元座標になると、X-Y平面、Y-Z平面での傾きの使い方がこんがらかってしまいます。
基本的な質問で申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。

座標1 = (x1,y1,z1)
座標2 = (x2,y2,z2)

以上

Aベストアンサー

> 直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。
3次元座標では(ax+by+cz=0)は原点を通る平面になり、直線の式ではありません。ax+by+cz=dは平面の一般式です。

2点を通る直線の式には公式があります。
以下のように簡単に導けます。
点(x1,y1,z1)を通り方向ベクトル(x2-x1,y2-y1,z2-z1)の直線ですから
媒介変数形式で
(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
と成ります。
これを変形してすれば
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
と3次元座標の直線の式となります。

Q商空間の概念が全く分かりません

http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/quotient_topology.html

商空間の定義はここに書かれてある通りなのですが、
これを呼んでもどういうものなのか全くよく分かりません。
そもそも商という名前がついているのに、どこに商(割り算)のような因子が含まれているのでしょうか?
どなたか具体例を挙げて教えて下さい。

Aベストアンサー

>写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、
合成写像gf:X->Zが連続写像となることである。

・・・これは定義じゃないですな.
そもそも「商空間」ですらない.
商空間にいれる「自然な位相」のことを
「商位相」というんだけども
商空間と商位相はまったく別物.
もっと初歩的な位相空間・代数・位相幾何の本を読みましょう.
その本は間違いなくあなたにはレベルが高すぎるのでしょう.

集合X上の関係Rで以下の条件を満たすものを同値関係という
Xの任意の元x,y,zにたいして
(1) xRx
(2) xRy <=> yRx
(3) xRy かつ yRz ならば xRz
この同値関係Rを用いて,Xの任意の元xに対して
集合{y∈X | yRx}を定める.これをxのRによる同値類といい
[x]と表す.
このとき,同値類の集合{[x] | x∈X}を
X/R と表し,XのRによる商集合(商空間)という.
#これはまさに同値関係でつながるということで
#空間を割り算しているようなもの

このとき,自然な写像
p_R: X -> X/R を p(x)=[x] によって定める.
これを商空間への「射影」と呼ぶ.

Xが位相空間であるとき,射影p_Rが連続となる
最小の位相をX/Rに導入する.
すなわち,Xの任意の開集合Oに対して,
X/Rの部分集合 p_R^{-1}(O) が開集合であるとして
X/Rに位相を導入する.
この位相のことを,X/Rの商位相という.

これを拡大解釈して,
一般に全射 f:X -> Y に対して
f^{-1}(O) (OはYの開集合)がXの位相を定めるときに
Xには商位相が入っているという.
このとき,写像g;Y -> Zを考える.
Zの開集合Oに対して,gf:X->Zに対して
(gf)^{-1}(O)= f^{-1}(g^{-1}(O))
であることに注意する.
gが連続であるならば,fが連続なので合成gfは連続
gfが連続あるならば,
(gf)^{-1}(O)=f^{-1}(g^{-1}(O))
は開集合.fは連続で,Xは商位相をもつので
Yの開集合Vが存在して,V=g^{-1}(O)とできる
すなわし,gは連続である.

以上かな.
大抵の基本的な本にはこの程度のことは
必ず出てるから,大学生にしては調べ方や
本の探し方がかなり甘いといわれても仕方がないでしょう.

>写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、
合成写像gf:X->Zが連続写像となることである。

・・・これは定義じゃないですな.
そもそも「商空間」ですらない.
商空間にいれる「自然な位相」のことを
「商位相」というんだけども
商空間と商位相はまったく別物.
もっと初歩的な位相空間・代数・位相幾何の本を読みましょう.
その本は間違いなくあなたにはレベルが高すぎるのでしょう.

集合X上...続きを読む

Q位数素数と部分群の数について

pを素数とし,Gを位数pの群とする.
このときG×Gの部分群の数を求めよ.

といった問題について教えてください.

Gは位数pの群なので,GはZ/pZと同型になり,G×GはZ/pZ×Z/pZと同型になるので,Z/pZ×Z/pZの部分群の数を求めればいいと思うのですがそれが求められません.

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

面倒臭いのでGをZ/pZの加法群と同一視します。

G×Gの位数はp^2なのでLagrangeの定理から
G×Gの部分群の位数は1かpかp^2ですが:

A 位数1の部分群は{(0,0)}の1つだけ
B 位数p^2の部分群はG×G自身です。

C で位数pの部分群ですが...

位数が素数であるからそのような部分群Uは
巡回群で、ある生成元(a,b)∈U⊂G×Gがあります。
一方、任意の(x,y)∈G×Gに対して
(x,y)≠(0,0)なら(x,y)の位数はpで(**)、<(x,y)>は
位数pの巡回群になります。
よって位数がpであるG×Gの部分群全体は
(0,0)以外のG×Gの元(x,y)によって生成される
位数pの巡回群全体Tと一致します。

(**)この辺が位数が異なる素数である巡回群の直積と
  事情が異なります。p,qが相異なる素数の場合、
  (Z/pZ)×(Z/qZ)には位数pq, p, q (,1)の元が有ります

*特に(0,0)以外の元(x,y)は(p^2-1)個ありますが、
 これらは全てある位数pのG×Gの部分群に含まれます。
*一方V,W∈Tに対してV,Wに(0,0)以外の共通元
 (x,y)が有るとすると、<(x,y)>も位数pの
 巡回群であって、V=W.
 対偶をとって、V,Wが共に位数pのG×Gの部分群で、
 V≠WならばV,Wに共通元はありません。
 位数pのG×Gの部分群Vに含まれる、(0,0)以外の
 元の数は(p-1)個です。

よって、(0,0)以外の元(p^2-1)個は、
(p^2-1)/(p-1) = (p+1)個の 位数pの部分群たちに分類
されます。よって、位数がpであるG×Gの部分群は
p+1個です。

面倒臭いのでGをZ/pZの加法群と同一視します。

G×Gの位数はp^2なのでLagrangeの定理から
G×Gの部分群の位数は1かpかp^2ですが:

A 位数1の部分群は{(0,0)}の1つだけ
B 位数p^2の部分群はG×G自身です。

C で位数pの部分群ですが...

位数が素数であるからそのような部分群Uは
巡回群で、ある生成元(a,b)∈U⊂G×Gがあります。
一方、任意の(x,y)∈G×Gに対して
(x,y)≠(0,0)なら(x,y)の位数はpで(**)、<(x,y)>は
位数pの巡回群になります。
よって位数がpであるG×Gの部分群全体は
(0,0)以外のG×Gの元(x,y)によって生成...続きを読む

Q商空間とハウスドルフ空間

初めて投稿させていただきます。言葉足らずな点も多々あるかと思いますがよろしくお願いいたします。質問したいのは以下の問題です。
通常の位相を持った数直線Rから原点0を除いた位相空間をXとする。X上の2点に対しして。関係~をx‘~x⇔n∈Zが存在してx‘=2^nx (←2のn乗とxの積です)として定義する。商集合X/~をYとおく。次の各問に答えよ。
(1)π;X→Yを写像とするとき、Y上の商位相の定義を述べ、πが連続であることを示せ。
(2)Yは第2可算公理を満たすことを示せ。
(3)商空間Yはハウスドルフ空間になることを示せ
まず(1)はできました。次に(2)なのですがこれはちょっとやり方がわからず困っています。可分な位相空間であることを示して第2可算公理を満たすという感じにすれば良いのでしょうか?できれば模範的な解答を示していただければ嬉しいです。それと最後に(3)なのですが、まったくわからず・・・という状態です。これも解答していただければ助かります。解答を他人任せにしていることに申し訳なさを感じているのですが、どうしてもこの問題だけは理解したいと思います。ですからどうかお願いいたします。

初めて投稿させていただきます。言葉足らずな点も多々あるかと思いますがよろしくお願いいたします。質問したいのは以下の問題です。
通常の位相を持った数直線Rから原点0を除いた位相空間をXとする。X上の2点に対しして。関係~をx‘~x⇔n∈Zが存在してx‘=2^nx (←2のn乗とxの積です)として定義する。商集合X/~をYとおく。次の各問に答えよ。
(1)π;X→Yを写像とするとき、Y上の商位相の定義を述べ、πが連続であることを示せ。
(2)Yは第2可算公理を満たすことを示せ。
(3)商空間Yはハ...続きを読む

Aベストアンサー

1番です。

> すいません。まだわかりません。。解答を示していただくことはできないでしょうか?

ハウスドルフ空間が何か、商位相が何かがわかってないみたいにみえます。

1番で、

> (2^(n-1))y<x≦(2^n)y

という不等式を書きました。

Xで

(1)中心x半径aの開円盤
(2)中心(2^(n-1))y、半径bの開円盤
(3)中心(2^n)y、半径2bの開円盤

を作って、

B(x,a)、B((2^(n-1))y,b)、B((2^n)y,2b)のうちどの二つも共有点を持たないように正数aとbを取れるかどうか考えてください。

商位相を理解していればあとはわかるはず。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング