原点中心半径1の球の球面とユークリッド平面に一点を加えた集合は同相であることを示します。
いわゆる、立体射影というやつです。
まず、球面の北極点(0,0,1)を除いた集合から、ユークリッド全平面への写像が、
立体射影の方法で与えられていて、これが同相であることは認めていいとします。
次に、ユークリッド平面上にない、無限遠点∞をユークリッド平面に加えた集合を考え、
球面からその集合への写像Fを、fを拡張し、F((0,0,1))=∞ という風に設定します。
このとき、Fが(0,0,1)で連続であることを示したいのですが、やり方がわかりません。
どなたか詳しく教えていただけないでしょうか。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
補足質問の要点は、
開部分空間の開集合は、母空間の開集合、
閉部分空間の閉集合は、母空間の閉集合だけれども、
f^-1(K) は、開部分空間 S^2\{p} の閉集合だから、
S^2 の閉集合だとは限らないじゃないか
…ということですか?
K は、単なる閉集合ではなく、コンパクトです。
K を覆うひとつの有限開集合の閉包を C と置けば、
f^-1(K) は、閉部分空間 f^-1(C) の閉集合なので、
S^2 の閉集合になります。
これを使って、補足文中の証明より、
F は p でも連続と言えますね。
補足回答ありがとうございます。
f^-1(K)がS^2にてコンパクトであることを示せました。
S^2はハウスドルフ空間なので、これよりf^-1(K)
がclosed setであることもいえました。
No.1
- 回答日時:
一点を加えれば同相になるというものじゃないです。
同相になるように、「一点」の近傍を決めなきゃならない。
それが可能だということが証明できるだけです。
球面上での北極点の近傍系を F で写像したものを
ユークリッド平面+一点での ∞ の近傍系と定義すれば、
連続写像の定義よりただちに、F は連続となります。
この回答への補足
何度も回答ありがとうございます。
R^2∪{∞}の位相を、
{R^2の開集合系}∪{(R^2∪{∞})\K}
ただし、KはR^2のあらゆるコンパクトな集合
という風に定めれば、これはちゃんと位相になるらしいのですが、この位相の下、pでFがちゃんと
連続になるのが示せないのです。
おそらく、
『球面上での北極点の近傍系を F で写像したものを
ユークリッド平面+一点での ∞ の近傍系と定義すれば』という部分を解決するためだと思うのですが、
具体的に、この位相でFがpで連続であることの
証明を、教えていただけないでしょうか。
とりあえず自分の考えを書いてみます。
定義にのっとって、
F(p)の任意の近傍Uに対し、
pの近傍Vが存在して、F(V)⊂Uとなることを示せばいいですよね。
UがF(p)の近傍なので、
R^2∪{∞}の開集合V'が存在して、
F(p)=∞∈V'⊂U
となり、
これから
V := F^-1(V')⊂F^-1(U)
だから、p∈Vで、
F(V)⊂Uであります。
このVがS^2のopen setであればいいのですが、それを示すことができないのです。
V'は、R^2∪{∞}の位相の定義より、
(V'は∞を含んでいるから、)
V'=(R^2∪{∞})\Kと表せます。
だから、
F^-1(V)=F^-1((R^2∪{∞})\K)
=S^2\F^-1(K)であり、
F^-1(K)はf^-1(K)と同じだから、
Kがコンパクト、つまり有界閉集合で、
f^-1の連続性よりf^-1(K)も閉集合。
だから、S^2\F^-(K)は開集合である。
みたいにテキストにかいてあるのですが、
なぜこれがいえるのでしょうか。
f^-1(K)は、S^2\{(0,0,1)}の閉集合なんだからといって、S^2の閉集合であるとはいえないですよね。
それとも、この位相のいれ方が間違っているのでしょうか。何か混乱しているところがあればごめんなさい。
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