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∫-∞~∞x^2/(x^4+1)dxを複素積分で求めるとどうなるでしょうか。

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A 回答 (2件)

I=∫[-∞→∞]x^2/(x^4+1)dx


複素積分にして
=lim[R→∞]∫[-R→R] z^2/(1+z^4) dz
積分路C1:-R→Rに,積分路C2:R→R+iR,C3:R+iR→-R+iR,C4:-R+iR→-Rを加えて
=lim[R→∞]{∫[C1] z^2/(1+z^4) dz +∫[C2] z^2/(1+z^4) dz
+∫[C3] z^2/(1+z^4) dz +∫[C4] z^2/(1+z^4) dz}
=lim[R→∞]∫[C1+C2+C3+C4] z^2/(1+z^4) dz
単一閉ループC=C1+C2+C3+C4にして
=lim[R→∞]∫[C] z^2/(1+z^4) dz
=∫[C] z^2/(1+z^4) dz
f(z)=z^2/(1+z^4)の極の内Re z≧0の極(閉路積分路C内の特異点)は
 1+z^4=0を解いて z=(±1+i)/√2
と得られる。
f(z)の留数を求めると
Res{f(z),z=(1+i)/√2}
=f(z)*(z-(1+i)/√2)|[z→(1+i)/√2]
=z^2/{(z^2+i)(z+(1+i)/√2)}|[z→(1+i)/√2]
=i/{2i*2(1+i)/√2}=(1-i)√2/8
Res{f(z),z=(-1+i)/√2}
=f(z)*(z+(1-i)/√2)|[z→(-1+i)/√2]
=z^2/{(z^2-i)(z-(1-i)/√2)}|[z→(-1+i)/√2]
=-i/{-2i*(-2)(1-i)/√2}=-(1+i)√2/8
留数定理より
I=2πi{(1-i)√2/8-(1+i)√2/8}
=2πi(-2i√2/8)
=π/√2 ← (答え)
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この回答へのお礼

ありがとうございました。自分でもう一回解いてみます。

お礼日時:2013/05/23 00:03

lim[R→∞]∫[-R→R] z^2/(1+z^4) dz


= lim[R→∞]{ ∫[C1] z^2/(1+z^4) dz + ∫[C2] z^2/(1+z^4) dz
       +∫[C3] z^2/(1+z^4) dz + ∫[C4] z^2/(1+z^4) dz }
には、理由が要る。(成り立つけど)

替わりに、半円周 |z| = R, Im z ≧ 0 上を
z = -R から z = R まで行く経路を C0 として、
lim[R→∞]∫[-R→R] z^2/(1+z^4) dz
= lim[R→∞]{ ∫[C1] z^2/(1+z^4) dz + ∫[-C0] z^2/(1+z^4) dz }
から留数定理へ持ち込んでも、いいんじゃないかな。

R が十分大きいとき、C0 上で
|z^2/(1+z^4)| = |z^2|/|1+z^4| < |z^2|/|2z^4| = 1/(2R^2)
だから、
|∫[-C0] z^2/(1+z^4) dz| < ∫[-C0] |z^2/(1+z^4)| dz < ∫[-C0] 1/(2R^2) dz
= {1/(2R^2)}∫[-C0]dz = {1/(2R^2)}(πR) = π/(2R) → 0 ; when R→∞

よって、
lim[R→∞]∫[-R→R] z^2/(1+z^4) dz
= lim[R→∞] ∫[C1+(-C0)] z^2/(1+z^4) dz

留数は、Im z ≧ 0 の特異点 z = (±1+i)/√2 について合計する。
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    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2013/05/23 00:04

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Qテイラー展開とローラン展開

テイラー展開とローラン展開の問題の解き方がよく分かりません。どちらにもマクローリン展開を用いるようなのですが・・・。例えば、z=-iを中心に関数f(z)=1/zをテイラー展開及びローラン展開するにはどうすれば良いのでしょうか?式をできるだけ詳しく説明して頂けると助かります。

Aベストアンサー

遅くなったかもしれませんが、補足の説明です。

>z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開という考え方でいいのでしょうか?

先に点z=aを考えるのではなく、領域から考えたほうがよいのでは?
関数f(z)がどの領域(z平面や与えらている領域D)で正則なのかという風に・・・。

>関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか?

除去可能な孤立特異点、(p位の)極、孤立真性特異点はローラン展開した後で判別するものですから、ローラン展開も領域を意識したほうがいいと思います。
例えば、環状領域は0<|z|<+∞、0<|z-1|<1などと表されます。

>また、ローラン展開をする際は必ずマクローリン展開(u=z-aとおく等してz=0でテイラー展開)を用いるのでしょうか?

必ずしもそうとは言えません。与えられた関数によるでしょう。
例として

f(z)={(z^2)-1}/{(z+1)(2z-1)}の0<|z-(1/2)|<(1/2)
でのローラン展開を求めると、
f(z)=(z-1)/(2z-1)=(1/2)*{1-1/(2z-1)}=(1/2)-(1/4)*{1/(z-1/2)}
従って、f(z)=(1/2)-(1/4)*(z-(1/2))^(-1)

というように、テイラー展開を用いなくてもローラン展開が出来るものもあります。
(途中の計算は確認してください。)

また、領域を意識する必要性は#1のローラン展開の例で領域を0<|z-1|<1
に変えると当然一意性があるので違ったローラン展開になります。(g(z)=-1/zとおいて計算する。)

自分の授業の話ですが複素解析学ではマクローリン展開と言わなかったような気がします。(教授の好みかもしれません。)

それでは頑張って下さい。

遅くなったかもしれませんが、補足の説明です。

>z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開という考え方でいいのでしょうか?

先に点z=aを考えるのではなく、領域から考えたほうがよいのでは?
関数f(z)がどの領域(z平面や与えらている領域D)で正則なのかという風に・・・。

>関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか?

除去可能な孤立特異点、(p位の)極、孤立真性特異点はローラン展開した後で判別するものですから、ロ...続きを読む

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
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∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
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という関係が出ますね。
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Qx/(x^4 +1)の積分

自分の回答では置換積分法を使う事で log|x^8 +1| /2 と出たのですが、回答には arctanx^2/2 と記されていました。
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x^2=tとおくと
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Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Q【応用解析】特異点 留数 位数について

特異点、留数、位数の求め方(考え方)を教えてください。
例えば
f(z)=1/(z*sinz)
についてその3つの解説お願い特異点、留数、位数の求め方を教えてください。
自分で考えたのは
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位数はz=0は一次なので1位、sinz=nπはよく分からない
留数は1位とk位(k≧2)の場合の公式があるのでそこに入れるらしい(あやふや)
こんな感じです。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

特異点・留数・極の定義からもう一度見直しましょう。そうすればわかるはずです。

こちらの関数
f(z)=1/(z*sinz)
についてですが、分母零点が特異点になるのはおわかりのようですので、大体いいと思います。しかしこれは複素関数なので、
sinz = 0 (zは複素数)
を解くときに、nπ(nは整数)以外の零点が存在しないことを確認しなければなりません。オイラーの公式を使って、sinzを指数関数で表記すればできます。

極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、その展開がマイナス何乗の項まで存在するか、ということです。位数が無限大になる「真性特異点」というものもあります。
したがって、この関数はz=0においては1位の極ではありません。もういちどよく考えてください。

留数とは、特異点のローラン展開におけるマイナス1乗の係数のことです。求めたい留数においてそれが何位の極なのかがわかれば、その計算方法も考えればわかるはずです。
留数がわかれば複素積分に応用できるので、留数は複素関数において重要な考えの一つです。

特異点・留数・極の定義からもう一度見直しましょう。そうすればわかるはずです。

こちらの関数
f(z)=1/(z*sinz)
についてですが、分母零点が特異点になるのはおわかりのようですので、大体いいと思います。しかしこれは複素関数なので、
sinz = 0 (zは複素数)
を解くときに、nπ(nは整数)以外の零点が存在しないことを確認しなければなりません。オイラーの公式を使って、sinzを指数関数で表記すればできます。

極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
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まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q複素積分 ∫[-∞→∞] (sinx)/x dxについて

∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
について教科書の解説を見ても理解出来ないところがあったので教えてください。
手持ちの教科書では次のような流れで計算をしていました
F(z)=exp(iz)/zとおく
F(z)はz=0に1位の極を持つのでz=0を避けるような経路C(添付図)をとる … (1)
D2は半径εの半円弧である
F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0 … (A)
F(z)の経路C=R+U+L+D1+D2+D3においてR,U,Lでの積分は0(証明長くなるので省略)

また、D2での積分は
∫[D2] F(z) dz = ∫[D2] {F(z)-(1/z)} dz +∫[D2] (1/z) dz
と分けるとF(z)-(1/z)はz=0で正則なのでε→0のとき積分の値は0 … (2)
∫[D2] (1/z) dz は z=εexp(iθ)とおいて計算すると-πiになる
(A)でX,Y→∞ ε→0とすると
∫[-∞→∞] (exp(ix)/x dx - πi =0 …(B)
exp(ix)=cos(x)+isin(x)より、
∫[-∞→∞] (cosx)/x dx + i∫[-∞→∞] (sinx)/x dx = πi
両辺の虚部をとって
虚部をとって∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
ここまでが教科書での解答の大まかな流れです
疑問点は以下のとおりです
A:(1)で0を避けた理由
B:(2)でF(z)=F(z)-(1/z)+(1/z)と分けたのはどこから来たのか
C:(2)でF(z)-(1/z)はz=0で正則とあるがz=0で1/zは定義できないのに正則?
D:D1とD3は回答中で触れてないが無視していいのか
E:この問題はタイトルの積分を留数定理で解けという問題だったのですが留数定理使ってないような?

長くなりましたがよろしくお願いします

∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
について教科書の解説を見ても理解出来ないところがあったので教えてください。
手持ちの教科書では次のような流れで計算をしていました
F(z)=exp(iz)/zとおく
F(z)はz=0に1位の極を持つのでz=0を避けるような経路C(添付図)をとる … (1)
D2は半径εの半円弧である
F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0 … (A)
F(z)の経路C=R+U+L+D1+D2+D3においてR,U,Lでの積分は0(証明長くなるので省略)

また、D2での積分は
∫[D2] F(z) dz = ∫[D2] {F(z)-(1/z)} dz +∫[D2] (1/z) dz
と分ける...続きを読む

Aベストアンサー

>F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0
>がコーシーの積分定理だけでなく留数定理からも導けたということですね、コーシーの積分定理にとらわれて見えていませんでした
そういうつもりで書いていましたが、そう書いている所は見つからないですね。(web上でしか探してませんが・・・)
留数定理の特別な場合がコーシーの積分定理と考えても問題は生じないと思いますが、そう考える事は少ないのかもしれません。

>手持ちの教科書ではaが1位の極でf(z)=h(z)/g(z)で表せるとき
>Res(a) = h(a)/g'(a)と書かれていました
あぁ、aは1位の極という条件があったのですね。
教科書に書いてあるのならそれでいいのでしょう。(私などの言うことよりは教科書に書いてある事を信じるべきです)

>>>D1とD3は実軸上なのでその経路上の積分においてF(z)=F(x)=exp(ix)/xと置き換えられる
>これは本当にいいんでしょうか。教科書などでもいきなりやってるのでなんとなくやってましたが
>∫[実軸と水平な直線N]F(z)dz = ∫[Nの左端のx座標→Nの右端の座標]F(x)dx について手持ちの教科書では説明が見当たりません

例えば、#2への補足のD2'上の積分の計算で、
z=εexp(iθ)
と"置換"をしています。
この"置換"によって積分変数が複素数から実数へと変わりますよね。従って"置換"の前後で積分自体の定義が若干変わるので、普通の実数値関数の積分の場合と同様に"置換"ができるという事自体は必ずしも自明ではないと思います。(複素積分の定義にもよるかもしれませんが)
ですので、こういう"置換"ができるという事はお手持ちの教科書のどこかに書いていませんか。
式としては参考URLのComplex line integralの節の3つ目の式です。

ま、証明はともあれこの式を認めてよいのであれば、
ご質問の件はz=xと"置換"をしただけです。参考URLの式で言えばγ(x)=xとしているだけです。

>また、今回のRやLのような虚軸方向の直線の積分はyの積分に置き換えていいんでしょうか
z=±X+iyと"置換"をする(γ(y)=±X+iyとして参考URLの式を当てはめる)
のような事をするだけです。

>R,L,U上の積分はあくまでもX→∞,ε→0の極限で0になることの証明は教科書にあるので読めばわかるだろうと高を括っていましたが甘かったようです。
ん、今まで気付きませんでしたが、R,L,U上の積分を考える上ではεは何処にも出てこないのでε→0の極限はとらなくてもいいですね。あと、Y→∞の極限をとる必要もあるでしょう。(この部分は最初に書き損じて後はコピペをしていたせいで全部間違えただけのような気もしますが、せっかく気付いたので念のため)

という事はさておき、この証明はそんなに難しいのですかね。
いや、簡単だとか言っているのではなく、こういう経路で実際に計算した経験(記憶?)がない(&実際に計算をしていない)ので、どこで計算に詰まるのか分らないだけなのですが。

>今回の経路のR,L,Uの代わりに半径Xの半円Pとしてやった経路(P+D1+D2+D3)を考えると1/zはz→∞のとき0に収束するのでジョルダンの補助定理が適用できて∫[P]F(z)dz = 0
まぁ、いいのではないでしょうか。
正確にはz→∞ではなく|z|→∞かな。

参考URL:http://en.wikipedia.org/wiki/Line_integral

>F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0
>がコーシーの積分定理だけでなく留数定理からも導けたということですね、コーシーの積分定理にとらわれて見えていませんでした
そういうつもりで書いていましたが、そう書いている所は見つからないですね。(web上でしか探してませんが・・・)
留数定理の特別な場合がコーシーの積分定理と考えても問題は生じないと思いますが、そう考える事は少ないのかもしれません。

>手持ちの教科書ではaが1位の極でf(z)=h(z)/g(z)で表せるとき
>Res(a) = h(a)/g'(a)と書かれてい...続きを読む

Q1/sinz

∫1/sinz dz (c: |z|=1)を留数定理を用いて解く問題なのですが。
極はz=0で答えは2πiとなっております。

まずやりかたもよくわからないのですが、極にz=nπが入らない理由もわかりません。
ぜひ教えていただきたいです。

Aベストアンサー

>まずやりかたもよくわからないのですが、

ttp://coral.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Ch5.pdf
をご覧になって勉強してください。

>極にz=nπが入らない理由もわかりません。

積分経路Cは|z|=1より原点を中心とする半径1の円周なので
1/sin(z)の極z=nπの内、この中に入る積分路Cの中に含まれる極(特異点)はz=0だけだからです。複素積分の

z=0における留数は
Res(0)=lim[z→0]z/sin(z)=1
なので、留数定理より
∮_c 1/sin(z) dz=2πi*Res(0)=2πi
と求まります。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/留数

Q複素解析で、極の位数の求め方

無限積分の値を求めるのに留数定理を使用するので、その際留数を求めることになりますが、
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
によると、留数を求めるのに極の位数が必要だと書いています。

極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、位数の求め方がわかりません。位数はどのようにして求めることができるのでしょうか?

Aベストアンサー

>極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、
>位数の求め方がわかりません。
極がaのとき、分母をq(z)とおくと、q(z)を因数分解したとき
(z-a)^m
を因数として持つとき(q(z)=0がm重解を持つとき)
mを位数といいます。
位数mを求めるにはz=aが何重解かを求めればそれがmになります。

Q大学の複素数の問題なんですがわからないので教えてください。

大学の複素数の問題なんですがわからないので教えてください。
初めて書き込みする者です。よろしくお願いします。

次の関係を満足するZの範囲をいえ.(Z=X+Yi)
|Z-2|+|Z+2|=6

という問題です。途中の式もお願いします。

Aベストアンサー

xy座標平面で言うと
A(2,0)、B(-2,0)、Zの座標をP(x,y)とすると
|Z-2|+|Z+2|=6
は AP+BP=6
ということを表します。
これを式で書くと
√{(x-2)^2+y^2}+√{(x+2)^2+y^2}=6
2乗して
2{x^2+4+y^2}+2√{(x-2)^2+y^2}{(x+2)^2+y^2}=36
√{(x-2)^2+y^2}{(x+2)^2+y^2}=14-x^2-y^2
2乗して
(x^2-4)^2+y^4+2(x^2+4)y^2=(14-x^2-y^2)^2
整理すると

5x^2+9y^2=45

(x/3)^2+(y/√5)^2=1

と楕円になります。

複素平面では
長直径(-3)~(3),短直径(i√5)~(-i√5),中心が原点の楕円です。