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(1)F(x, y)=4xy-2y^2-x^4
(2)F(x, y)=xy+1/x+1/y
(1)、(2)の極値の求め方だわかりません。どなたか教えてください。

教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

まず偏導関数 F_x と F_y の値がともに 0 になるような (x,y) を求め, 次にそのヘッシアンを調べます. 必要でしたら参考URLもご覧ください.



(1)
F_x=4(y-x^3) F_y=4(x-y)
より, F_x=F_y=0 ⇔ y=x=x^3 ⇔ (x,y)=(0,0) or (1,1) or (-1,-1)

F_xx=-12x^2 F_xy(=F_yx)=4 F_yy=-4 より, F のヘッシアン H_F(x,y) は F_xx F_yy - F_xy F_yx = 16(3x^2-1) であるから,

H_F(1,1)=32>0 よって極値 (このとき F_xx(1,1)=-12<0 より極大値)
H_F(0,0)=-16<0 極値でない.
H_F(-1,-1)=32>0 よって極値 (このとき F_xx(-1,-1)=-12<0 より極大値)

結局
(1,1) で極大値 F(1,1)=1
(-1,-1) で極大値 F(-1,-1)=1
をとる. これですべての極値が尽くされている.

(2)
F_x=y-1/x^2, F_y=x-1/y^2
より, F_x=F_y=0 ⇔ y=1/x^2 and x=1/y^2 ⇔ x=y=1

F_xx=2/x^3 F_yy=2/y^3 F_xy(=F_yx)=1 より, F のヘッシアン H_F(x,y) は F_xx F_yy - F_xy F_yx = (4/x^3y^3)-1 であるから,
H_F(1,1)=4-1=3>0 よって極値 (このとき F_xx(1,1)=2>0 より極小値)

結局
(1,1) で極小値 F(1,1)=3 をとる. これですべての極値が尽くされている.

参考URL:http://my.reset.jp/~gok/math/pdf/ana/200814ana.pdf
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停留点(Fx=Fy=0 である点)周囲での


F の振る舞いを調べるには、その点を中心に
F を多変数テイラー展開すればいい。

今回の例題は簡単で、ヘッシアン(判別式)だけで
カタがついてしまうが、ヘッセ行列が零行列に
なるような例では、テイラー展開の
より高次の項を見る必要がある。

なんにせよ、この質問をしているということは、
貴方は、もう子供ではないのだから、
受験数学流の公式主義は卒業して、
答えを出す手順を暗記するのではなく、
そこで何が起こっているのかを
理解しようとするべきだ。
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2変数関数の極値の求め方については参考URLを熟読して1通り勉強してください。



(1)だけ
(2)は真似て自力でやってみて下さい。

F(x, y)=4xy-2y^2-x^4
Fx=4y-4x^3
Fy=4x-4y
停留点を求める。
連立方程式
Fx=4(y-x^3)=0
Fy=4(x-y)=0
を解いて x=y=0,1,-1
停留点(0,0),(1,1),(-1,-1)
Fxx=-12x^2
Fyy=-4
Fxy=4

停留点(0,0)を調べると
A=Fxx(0,0)=0なので極値をとらない。
F(t,t)=4t^2-2t^2-t^4≒2t^2>0 (|t|<<1のとき)
F(t,-t)=-4t^2-2t^2-t^4≒-6t^2<0 (|t|<<1のとき)
F(0,0)=0
停留点(0,0)は鞍点

停留点(1,1)を調べると
A=Fxx(1,1)=-12<0
判別式D=B^2-AC=(Fxy(1,1))^2-Fxx(1,1)Fyy(1,1)=4^2-4*12=-32<0
極大値をとる。極大値F(1,1)=4-2-1=1

停留点(-1,-1)を調べると
A=Fxx(-1,-1)=-12<0
判別式D=B^2-AC=(Fxy(-1,-1))^2-Fxx(-1,-1)Fyy(-1,-1)=4^2-4*12=-32<0
極大値をとる。極大値F(-1,-1)=4-2-1=1

参考URL:http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101 …
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停留点を求めてその周囲での振舞いを調べる.

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