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何故ですか?

「K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
 a1x1+a2x2+・・・+anxn=0
を満たす ak (k=1,2,・・・,n) が、
 a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立」

みたいですが、これを見ても何故一次従属だと係数比較出来ないのかが分かりません
教えてください

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A 回答 (1件)

めんどうなので二つで



v,wが
av+bw=cv+dwをみたすならば
(a-c)v+(b-d)w=0
v,wが一次独立であってはじめて
a-c=0かつb-d=0になる
    • good
    • 0
この回答へのお礼

わかりました
ありがとうございました

お礼日時:2013/06/01 21:23

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Q係数比較法について

先日、センター試験の数学IAを解いていたら、係数比較法という言葉が出てきました。私が持っている参考書や教科書には載ってなく、係数比較法とはどういった計算方法なのでしょうか?例を挙げて教えてもらえると嬉しいです。

Aベストアンサー

係数というのは「変数についてる数字(文字)」、
3x^2 なら3の事ですよね。これを左式と右式で比較するわけです。

例えば、 ax^2 + (b-2)x -3c + 5 = 4x^2 + 2x + 2

という式があったとします。ここでx^2 の係数は、左式ではa、
右式では4です。これが等しくなるので、a=4となります。
同じようにxの係数については、 (b-2) = 2 より、b=4、
xがない係数については、-3c + 5 = 2 より、c=1 というふうに、
計算していくやり方の事です。

Qベクトルの一次独立

ベクトルAP=(1-s)ベクトルa + 4/7sベクトルb
ベクトルAP=2/3tベクトルa + (1-t)ベクトルb
となったとき、ベクトルaとベクトルbは0ベクトルでなく、平行でない(1次独立)ので
1-s=2/3t
4/7s=1-t
となり、これを解いてsとtを出しベクトルAPを求めますよね。
ここで質問なんですが、なぜ1次独立のときは係数比較(?)ができないんですか?
ベクトルaとベクトルbが0ベクトルのときダメだっていうのはなんとなくわかるんですが、平行のときはなぜダメなのかがわかりません。
回答お願いします!

Aベストアンサー

> なぜ1次独立のときは係数比較(?)ができないんですか
は、「1次独立でないとき」のタイプミスですね?

ベクトル(a→)と(b→)が1次独立 ⇔ ( s(a→) + t(b→) = 0 ⇔ s = t = 0 )
0ベクトルでない(a→)と(b→)が平行 ⇔ (b→) = c (a→)となるcが存在

なので、(a→)と(b→)が1次独立ならば
s (a→) + t (b→) = u (a→) + v (b→) のとき
(s-u)(a→) + (t-v)(b→) = 0 ⇔ s = u ∧ t = v
であるから、ベクトルの係数を比較すればよい。

0ベクトルでない (a→)と(b→)が平行(つまり(b→) = c(a→)であるcが存在する)ならば
s (a→) + t (b→) = u (a→) + v (b→)のとき、
(s-u)(a→) + (t-v)(b→) = 0
(s-u+c(t-v))(a→) = 0
s-u+c(t-v) = 0
なので s-u+c(t-v) = 0 を満たす全ての s,t,u,v を解としなければならないが、係数比較で求められる s = u ∧ t = v というのはその無数にある解のうちたった1個でしかない。

ということで、係数比較では全ての解を求められないから「できない」とか「ダメ」ということになる。

> なぜ1次独立のときは係数比較(?)ができないんですか
は、「1次独立でないとき」のタイプミスですね?

ベクトル(a→)と(b→)が1次独立 ⇔ ( s(a→) + t(b→) = 0 ⇔ s = t = 0 )
0ベクトルでない(a→)と(b→)が平行 ⇔ (b→) = c (a→)となるcが存在

なので、(a→)と(b→)が1次独立ならば
s (a→) + t (b→) = u (a→) + v (b→) のとき
(s-u)(a→) + (t-v)(b→) = 0 ⇔ s = u ∧ t = v
であるから、ベクトルの係数を比較すればよい。

0ベクトルでない (a→)と(b→)が平行(つまり(b→) = c(a→)であるcが...続きを読む

Q1次独立・1次従属とは?

1次独立・1次従属とは何でしょうか。参考書であまりていねいに説明されてないので、よく分かりません。あまり重要な事柄ではないのでしょうか。
2つのベクトルa→,b→が1次独立 ならば a→≠0→
                     b→≠0→
                     a→平行b→ではない

とかいてありますが・・・・

教えてください。

Aベストアンサー

>あまり重要な事柄ではないのでしょうか。

とんでもない.
線形代数(高校ならベクトル)の中心概念です.
ただし,高校のベクトルの範囲ならば
わざわざ一次独立なんて言葉を出さないでも
議論できてしまうので,表に出てないだけです.

一次独立というのは

二つのベクトルa,bと係数k,lにたいして
k a + l b = 0 が成り立つならば
k=l=0 である

ということです
これはa=(a1, a2) b=(b1, b2)と書いたときに
連立方程式
k a1 + l b1 = 0
k a2 + l b2 = 0
の解が(k,l)=(0,0)となることを意味し
また
行列
a1 b1
a2 b2
の行列式が0ではないことを意味します
このように高校の(平面)ベクトルの範囲では
「連立方程式の言葉」や
「行列式の言葉」に簡単に直せてしまうので
あまり表立って出てこないのです

一次従属は「一次独立ではない」というのが定義です
これを書き下せば

同時に0とはならない適当な係数k, lを選べば
k a + l b = 0 とすることができる

ということになって,これは(平面)ベクトルの
言葉でいえばaとbが平行ということです
連立方程式の言葉でいえば
・解が無数に存在する
行列式の言葉でいえば
・行列式が0になる
ということになります.

一次変換まで考えたりして,
まだまだいろいろあるのですが,
高校のベクトル範囲なら
これくらいで十分でしょう

>あまり重要な事柄ではないのでしょうか。

とんでもない.
線形代数(高校ならベクトル)の中心概念です.
ただし,高校のベクトルの範囲ならば
わざわざ一次独立なんて言葉を出さないでも
議論できてしまうので,表に出てないだけです.

一次独立というのは

二つのベクトルa,bと係数k,lにたいして
k a + l b = 0 が成り立つならば
k=l=0 である

ということです
これはa=(a1, a2) b=(b1, b2)と書いたときに
連立方程式
k a1 + l b1 = 0
k a2 + l b2 = 0
の解が(k,l)=(0,0)となることを...続きを読む

Q2乗しても同値性が崩れないときと崩れるとき

2乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を2乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで2乗してもいいのかな?」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

例);2乗してもいいとき

X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1)
Y=3/4[(α+β)^2]+3/4・・・(2)

ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を2乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。

Aベストアンサー

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等式を加減するとき
4.式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。2乗(平方)したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入(加減)も同じ。(もちろん、崩れない場合もある)解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入(加減)の場合は、代入した式に戻って検討する。

ちなみに、7の問題は大変な良問で、いろいろな解法が出来ます。私はパラメ-タaを分離して、解決しました。これは、受験数学のテクニックのひとつで、aとxが伴って変わらくて、しかもaとxを分離することが容易な場合に威力を発揮します。また、xについての二次方程式でもあるので、判別式を利用して解くことも出来るし、さらにs-wordさんの解で、特殊な絶対不等式を使うことも出来る。この絶対不等式は、私は気づきませんでした。問題の型を見た瞬間に、パラメタ分離→微分して調べるという構図が浮かんでしまったからです。某料理会の○皇様が、料理は工夫しすぎるということはない。さらなる工夫をもって精進せいよなどどと言っていたのを思い出しました。まったく数学は奥が深いのう。

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等...続きを読む

Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは?

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか?
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか?

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Si...続きを読む

Q「わかりづらい」  と  「わかりずらい」

「わかりづらい」  と  「わかりずらい」
漢字にすると(判り辛い、解り辛い)なのかと思います。

「わかりづらい」が正しいとおもって使っていたのですが、
最近「わかりずらい」もよく目にします。

二者択一だったら皆様はどちらを使うべきですか?

アドバイスを頂きたいと思います。

Aベストアンサー

goo 辞書より

づら・い 【▽辛い】
(接尾)
〔形容詞型活用([文]ク づら・し)〕動詞の連用形に付いて、その動作をすることに困難を感ずる意を表す。…にくい。
「老眼で辞書が見―・い」「読み―・い本」「無愛想で話し―・い」
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%A4%C5%A4%E9%A4%A4&jn.x=24&jn.y=14&kind=jn&mode=0

ずらい
検索結果に該当するものが見当たりません。
キーワードを変更して再度検索をしてみてください。
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%A4%BA%A4%E9%A4%A4&jn.x=29&jn.y=11&kind=jn&mode=0

私は辛い(つらい)→づらい、と考えて「づらい」を使っています。

参考URL:http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%A4%C5%A4%E9%A4%A4&jn.x=24&jn.y=14&kind=jn&mode=0

goo 辞書より

づら・い 【▽辛い】
(接尾)
〔形容詞型活用([文]ク づら・し)〕動詞の連用形に付いて、その動作をすることに困難を感ずる意を表す。…にくい。
「老眼で辞書が見―・い」「読み―・い本」「無愛想で話し―・い」
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%A4%C5%A4%E9%A4%A4&jn.x=24&jn.y=14&kind=jn&mode=0

ずらい
検索結果に該当するものが見当たりません。
キーワードを変更して再度検索をしてみてください。
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%A4%BA%A4%E9%A4%A4&jn...続きを読む

Q蒸気圧ってなに?

高校化学IIの気体の分野で『蒸気圧』というのが出てきました。教科書を何度も読んだのですが漠然とした書き方でよく理解できませんでした。蒸気圧とはどんな圧力なのですか?具体的に教えてください。

Aベストアンサー

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できます。
また、油が蒸発しにくいのは油の蒸気圧が非常に低いためであると説明できます。

さきほど、常温での水の飽和蒸気圧が0.02気圧であると述べましたが、これはどういう意味かと言えば、大気圧の内の、2%が水蒸気によるものだということになります。
気体の分圧は気体中の分子の数に比例しますので、空気を構成する分子の内の2%が水の分子であることを意味します。残りの98%のうちの約5分の4が窒素で、約5分の1が酸素ということになります。

ただし、上で述べたのは湿度が100%の場合であり、仮に湿度が60%だとすれば、水の蒸気圧は0.2x0.6=0.012気圧ということになります。

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できま...続きを読む

Q計算結果の微妙なズレ(大学入試)

最近悩んでいることがあります。
それは、考え方が合っているのに、計算過程で解答とズレが生じることです。

実際の試験で、どう判断されるのか、心配です。

例えば…

最初の問題で濃度を求め、一つ目の解として答案に書きます。
次に、その濃度を利用して別の物質の濃度や、グラム数を求めます。
このとき、一つ目の解は有効数字3桁と指定されている場合、それを使わずに元の分数のままの数字を使って2つ目以降の問題を解くのがよいと思っていましたが、今やっている問題集では、有効数字を使っています。ですので、0.00001解答がズレました。(2.040×10^(-2)が2.039×10^(-2)に)

また、〔H+〕=1.75×8.18×10^(-6)
のとき、log1.75 と log8.18 を使って解くのと、
1.75×8.18×10^(-6)=1.43×10^(-5)
として log1.43 を使って解くのでは、pH が 0.001 ズレます。(どの対数の値も与えられています。)

こういったことが、大学入試では考慮されるのですか?

わかる方がいらしたら教えて下さい。

最近悩んでいることがあります。
それは、考え方が合っているのに、計算過程で解答とズレが生じることです。

実際の試験で、どう判断されるのか、心配です。

例えば…

最初の問題で濃度を求め、一つ目の解として答案に書きます。
次に、その濃度を利用して別の物質の濃度や、グラム数を求めます。
このとき、一つ目の解は有効数字3桁と指定されている場合、それを使わずに元の分数のままの数字を使って2つ目以降の問題を解くのがよいと思っていましたが、今やっている問題集では、有効数字を使ってい...続きを読む

Aベストアンサー

No.1です。
有効数字に関わる部分の計算方法は、No.3のご回答の最後の方に書かれていますように、プラス1桁で計算して最後に四捨五入というのが基本です。
ただし、そうした場合であっても、計算方法によって数値のバラツキは出てきます。
特に、有効数字が多い場合には誤差が出がちです。
ご質問の例のように4桁まで計算する場合に、末尾の数字が1とか2程度ずれることはあり得ますので、正解の範囲内だと思います。

なお、有効数字が指示されている設問で、それとは異なる有効数字で答えた場合には減点対象となる可能性があります。
また、有効数字が指示されていない場合でも、問題に与えられている数値の有効数字に合わせて回答していない場合には減点対象になる場合もあります。

Qエネルギーが高いと不安定?

受験時代はこのことを当たり前のように思っていましたが、改めて考えてみると、どうも納得がいきません。この間の授業で先生が「エネルギーの高い分子は不安定だから・・・」とおっしゃったので何でだろうと思いました。
エネルギーが高いものは高いもので存在しているんだから不安定も何もないんじゃないのかって思うのですがおかしいでしょうか。よくエネルギー図などで説明されるのですが、そもそも活性化エネルギーというものが何で存在するのかもわかりませんし、なんだか受験時代に覚えさせられたことにうまく言いくるめられているようで変な気分です。
具体的な理由があれば教えてください。

Aベストアンサー

 これは化学にも物理にも通用する法則です。何故エネルギーの低い状態が安定なのかは誰にも分っていません。ただそれに反する現象がないからそれは一応の真実とされています。科学における真理は常にそうなのです。それは科学では演繹でしか証明できないのでやむを得ないのです。熱力学第二法則も同じですね。

Q「~ありき」の意味・使い方を教えてください

「結論ありき…」
「小説ありき…」

など、ありきという言葉はいったいどういう意味なのでしょうか?
馬鹿な質問ですみませんが、心優しい方教えてください!

Aベストアンサー

最近の会話の中では「それがあって初めて成立する」とか「それがあってこその○○」みたいな使い方をされますね。

「あなたのアプローチはまず結論ありきで、課程というものを軽んじているように思えます」みたいな。

いちばん有名なのは聖書の「はじめに言葉ありき」だと思いますが、これは#1の方がおっしゃっている本来の用法です。


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