判断推理の勝敗について

A-Eの5大学で野球のリーグ戦を行い、各校とも2勝2敗であった。その勝敗の一部が次のとおりであったとき、確実にいえるものはどれか。
1.AがCに勝っていれば、EはBに勝ち、Dに敗れたことになる。
2.AがEに敗れていれば、CはBに勝ち、Aに敗れたことになる。
3.BがEに勝っていれば、DはCに勝ち、Eが敗れたことになる。
4.CがDに敗れていれば、EはAとDに勝ったことになる。
5.DがEに敗れていれば、CはAに勝ち、Dに敗れたことになる。

という問題で、正答は3なのですが解答を見るとAがCに勝ったか負けたかで場合分けをする。とあります。しかしなぜそうなるのか分かりません。
教えてください。宜しくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： staratras 回答日時： 2013/06/06 00:15

「一筆書き」と関連付けて考えるとわかりやすいと思います。

A、B、C、D、Eの5校を5角形の5つの頂点とすると、すべての対戦(10試合)はこの5角形の5辺と5つの対角線(合計10本)に対応します。

そこでA→Bと線を引いたときにはA校がB校に勝ったことに対応すると決めると、この対角線を含む5角形のある「一筆書き」は、すべての学校が2勝2敗だったという全試合結果のある組み合わせと1対1で対応します。これは5頂点すべてから他の4頂点に4本の線分が出ており、一筆書きが成り立つためには、このうち2本が「入り」(＝負け）、2本が「出」(＝勝ち）でなくてはならないからです。

例えばAからスタートして5辺を時計回りにA→E→D→C→B→Aと一回りした後、対角線は反時計回りに星型にA→C→E→B→D→Aと回れば「一筆書き（１）」(添付した左側の図）ができますが、これは「AはC、Eに勝ってB、Dに負け、BはA、Dに勝ってC、Eに負け、CはB、Eに勝ってA、Dに負け、DはA、Cに勝ってB、Eに負け、EはB、Dに勝ってA、Cに負けた」という結果に対応しています。

そこで「1.AがCに勝っていれば、EはBに勝ち、Dに敗れたことになる。」は「A→Cという経路を含む一筆書きはすべてE→B、D→Eである」と言い換えられます。確実に成り立つのはどれかということなので、反例「A→Cという経路を含む一筆書きでB→E、またはE→Dであるもの」が一つでもあればだめです。この反例は容易に見つかります、上に挙げた「一筆書き（１）」がその一つです。

残りの2,4,5の反例を挙げれば

2.AがEに敗れていれば、CはBに勝ち、Aに敗れたことになる。
A→B→C→D→E→A→D→B→E→C→A

4.CがDに敗れていれば、EはAとDに勝ったことになる。
A→E→D→C→B→A→C→E→B→D→A

5.DがEに敗れていれば、CはAに勝ち、Dに敗れたことになる。
A→E→D→C→B→A→C→E→B→D→A

ここで「3.BがEに勝っていれば、DはCに勝ち、Eが敗れたことになる。」は、意味があいまいで、Eが何に敗れたのかが不明ですが、「BがEに勝っていれば、DはCに勝ち」という部分だけで考えても、例えば次のような反例があり「確実に成り立つ」とはいえません。
B→E→A→B→C→D→E→C→A→D→B（「一筆書き（２）」添付した右側の図)

これは最後の「Eが敗れたことになる」の部分を何に敗れたようにしても、あるいはＥに（Dが）敗れたと変えても、「一筆書き（２）」が反例であることには変わりがないので、3．を「確実に成り立つ」ようにはできません。問題文（特に３）に何か書き落としはないのでしょうか。

この回答へのお礼

詳しく教えていただきどうもありがとうございました。

お礼日時：2013/07/27 18:37

No.2 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/06/04 21:03

>その勝敗の一部が次のとおりであったとき

の内容を書き忘れているのでは？
>3.BがEに勝っていれば、DはCに勝ち、Eが敗れたことになる。
後半の日本語の意味が不明です。E【に】敗れたことになる。の間違い？

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/06/04 15:08

＞「正答は3」とのことですが、問題か答がおかしいのでは？

何故なら、
添付図を「勝ち→負け」又は「負け→勝ち」で統一して見ると、
各校とも2勝2敗になっています。
「勝ち→負け」として見ると、
1.AがCに勝っていれば、EはBに勝ち、Dに敗れたことになる。
がいえます。
逆に「負け→勝ち」として見ると、
3.BがEに勝っていれば、DはCに勝ち、Eが(「に」でしょう)敗れたことになる。
及び
5.DがEに敗れていれば、CはAに勝ち、Dに敗れたことになる。
がいえます。