3次関数で単調増加な場合

3次関数で狭義の意味で単調増加な場合、
例えばｙ=x^3-8
で、ｙ＝０とすると、（ｘ－2）（ｘ＾2＋2ｘ＋4）＝０だから、虚数解が現れますが、ｘ＝－1±i√３
はグラフ上ではどこに表現されているのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/10 21:15

落ち着いて、正気で考えてください。

虚数解が、実二次平面上のグラフに現れるはずがないです。

x = -1±i√3 の -1 と √3 を分離して、それぞれを
y = x^3-8 の実グラフの中から見つける方法なら
いくつかあるでしょうが、
そんな、エジプトのピラミッドから円周率を探し出すような
こじつけをしても、あまり意味がないです。

複素数 x から複素数 y への関数として、複素二次空間上で
グラフを書くか、(どうやって書くんだ？)

現実的なセンとしては、x の複素平面と |y| の数直線を軸
として立体グラフを作れば、
虚数解 x = -1±i√3 はグラフ上に現れます。

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/11 19:44

あれ？ URLが文字化けした。

http://www.wolframalpha.com
↑のサイトを訪問して、入力ボックスに
plot abs((x+y*i)^3-8), x=-1.5 to 2.5, y=-2 to 2
↑をコピー＆ペーストしてみてください。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/11 19:39

A No.1 に

＞ x の複素平面と |y| の数直線を軸として立体グラフを作れば、
＞ 虚数解 x = -1±i√3 はグラフ上に現れます。
と書いた、そのグラフを描いてみます。
手描きで立体グラフを描くのは難しいので、パソコンにやってもらいました。↓
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+abs%28 …^3-8%29%2C+x%3D-1.5+to+2.5%2C+y%3D-2+to+2
ソフトウェアの都合上、変数の役割を変えて、
z = | (x+yi)^3-8 | のグラフを描かせてあります。
等高線で表示されたほうの図の、赤い丸それぞれの中に、
3個の解 -1±i√3, 2 が、極小値かつ零点として含まれます。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2013/06/11 05:41

複素解は複素平面にしか表示できません、

つまり
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/複素平面
にあるように
複素数x+iyを直交座標(x,y)に対応させた平面が複素平面です。

直交座標平面での
y=(x-2)(x^2+2x+4)...(1)
のグラフがx軸と交わる（y＝0とおいた）x座標は
x1=2,x2=-1+i√3,x3=-1-i√3
の3個です。
3個の座標点
(x1,0),(x2,0),(x3,0)
は縦軸に実数y,横軸に実数xをとるxy座標平面では、実数の座標点(x1,0)はプロットできても、x2,x3は虚数部を含む複素数なので両軸とも実数のxy座標平面に座標点(x2,0),(x3,0)をプロットはできません。

複素平面では
座標点(x1,0)=x1+i0は実軸（横軸）上にプロットできます。
座標点(x2,0)=-1+i√3は第２象限にプロットでき、
座標点(x2,0)=-1-i√3は第３象限にプロットできます。
x2とx3は共役複素数なので実軸に対称な点となります。

x2,x3は虚数を含む複素数なのでxy座標平面（両軸とも実数）には表示できません。

なので(1)で表されるxy座標平面のグラフでは
y=0とおいた
3次方程式(x-2)(x^2+2x+4)=0
の解x1,x2,x3の内、実数解のx=x1=2はx切片として
表わされますが、残りの2つの解の共役複素解は2次元実数空間であるxy座標平面であらわれません。すなわち、共役複素数解x2,x3の存在は、
(1)のグラブは、『xy座標平面ではx軸とx=x1(=2)の《一点だけでしか交わらない》』というネガチブな形で表されることになります。

このように３次関数では、（二次元実数空間である）xy座標平面の場合
、x軸との交点（x切片）とy=0とおいた時の３次方程式の実数解が対応し、虚数解（共役複素数解）はx切片としては表されません。
３次方程式の解の１つは必ず実数解として存在し、他の２つは実数解（重解を含む）か共役複素数のどちらかとなり、このことが「対応する３次関数のx切片の個数＝３次方程式の実数解の個数」であるように3次関数のグラフはx軸と交わるような曲線の形をとることになります。共役複素解が存在すれば、その個数だけグラフのx切片の個数が減少させるという影響が出るということです。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0% …

No.3 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/10 23:04

あ・・・

＞z^3-1=0
は間違いで当然
z^3-8=0
が正しいです。失礼。

No.2 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/10 23:03

虚数解を実数から実数への対応のグラフでみることはできません。

グラフ化したいなら、複素変数にして

z^3-1=0
z=x+iy

としてみましょうか。
途中計算省略しますが、

実部をまとめると
x^3-3xy-8=0　　　　・・・・・・・・・・・☆

虚部をまとめると
y((√3)x+y)((√3)x-y)=0　　　・・・★

となるので、元の方程式の解は☆が表す曲線と★が表す3本の直線
との交点とみることができます。

グラフを作成するサイトで描いてみると、

☆のグラフは
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x^3-3xy-8%3D0

★のグラフは
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%28%2 …

という感じ。
交点が(2,0),(-1,√3),(-1,-√3)の3つになっているというわけです。


（別の解釈）
一方、元の方程式を(x-2)(x^2+2x+4)=0と因数分解した式で実数解2
を切り離してx^2+2x+4=0の部分だけ考えることにすると、上記より
楽になります。

上記と同じように複素変数にして

z^2+2x+4=0
z=x+iy

としてみると、

実部((y/√3)^2-((x+1)/√3)^2=1　（双曲線）
虚部(x+1)y=0　（2直線）

となります。
手書きでグラフを描いてみてください。
幾何学的にはz^2+2x+4=0の解は双曲線と2直線の交点
(-1,√3),(-1,-√3)とみることができます。
こっち（z^2+2x+4=0）のほうが最初の方法（z^3-8=0）より見やすいし
共役の解がでてくる様子がわかってよいと思います。

蛇足ですが、
＞3次関数で狭義の意味で単調増加な場合
に虚数解が現れるとは限りませんし、単調増加でなくても虚数解が
現れることがありますのでご注意を。