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行列Xの階数をrank(X)で表す。A,Bをn次正方行列としたとき、

(1)不等式
rank(AB)≦rank(B) を示せ。また、等号成立はどういうときに成り立つか。

(2)
AB=0のとき、
不等式 rank(A)+rank(B)≦n
を示せ。

この問題をおしえてください。具体的な行列で考えると成り立っていることはわかるんですが、証明方法に悩んでいます。

A 回答 (2件)

(2)の書き間違い修正:


Bの対角の1の数はrank(B)→B'の対角の1の数はrank(B)

(1)
Bの行ベクトルをb1,b2,…,bnとする。
ABの行ベクトルは全てこれらの行ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な行ベクトルの数≦Bの独立な行ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(B)
特にAが正則のときrank(B)=rank(A^-1(AB))≦rank(AB)なので
rank(AB)=rank(B)
Aの列ベクトルをa1,a2,…,anとする。
ABの列ベクトルは全てこれらの列ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な列ベクトルの数≦Aの独立な列ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(A)
特にBが正則のときrank(A)=rank((AB)B^-1)≦rank(AB)なので
rank(AB)=rank(A)

(2)
Bに行基本変形と列基本変形をそれぞれ繰り返し行い
対角に最初に1が並び後で0が並ぶの対角行列B'とする。
このときB'の対角の1の数はrank(B)である。
また適当なn次正則行列P,Qにより
B'=PBQ
とできる。
A'=AP^-1
とするとA'B'=ABQ=0なので
A'の最初のrank(B)列までの列ベクトルは全て0
よって
rank(A')≦n-rank(B)
しかるに(1)よりrank(A)=rank(A'P)=rank(A')なので
rank(A)≦n-rank(B)
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(1)


Bの行ベクトルをb1,b2,…,bnとする。
ABの行ベクトルは全てこれらの行ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な行ベクトルの数≦Bの独立な行ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(B)
Aの列ベクトルをa1,a2,…,anとする。
ABの列ベクトルは全てこれらの列ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な列ベクトルの数≦Aの独立な列ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(A)

(2)
Bに行基本変形と列基本変形をそれぞれ繰り返し行い
対角に最初に1が並び後で0が並ぶの対角行列B'とする。
このときBの対角の1の数はrank(B)である。
また適当なn次正則行列P,Qにより
B'=PBQ
とできる。
A'=AP^-1
とするとA'B'=ABQ=0なので
A'の最初のrank(B)列までの列ベクトルは全て0
よって
rank(A')≦n-rank(B)
しかるに(1)よりrank(A)=rank(A'P)=rank(A')なので
rank(A)≦n-rank(B)
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Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
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Qrankに関する証明問題です。

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^2 は2乗の意味です。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

rank AB ≠ rank BA となる例:

A =
  1  -1
  1  -1

B =
  1  1
  1  1

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  0  0
  0  0

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  2  -2
  2  -2

だから、

rank AB = 0 ≠ 1 = rank BA。


後半の証明:

一般に rank XY ≦ rank X, rank XY ≦ rank Y であることから、

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すなわち rank AB = rank BA。

Q線形代数[行列]の証明問題

線形代数[行列]の証明問題の解答を教えて下さい。

※以下、Oは零行列、Eは単位行列を表す

1.Aが正則な対称行列であれば、Aインバース(Aの逆行列)も対称行列になることを示せ。

2.Aの3乗=Oのとき、E+A、E-Aはともに正則行列になることを示せ。

Aベストアンサー

1
A・A^-1=E

(A・A^-1)^T=E^T

(A^-1)^T・A^T=E

(A^-1)^T・A=E

(A^-1)^T・A・A^-1=E・A^-1

(A^-1)^T=A^-1

2
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・・・・

E-Aの逆元は・・・

E-Aは・・

・・,・・・,・・・・を補足に書け

Q線形代数の部分空間(行空間、列空間、零空間)がわかりません。

Aの行空間、Aの零空間、Aの列空間、Aの転置の零空間がよくわかりません。

たとえばx、y、z座標において、どのような空間になるのか理解出来ません
色々と調べてはみたつもりなのですが、図として表現されてなくて、言葉だけでは、あまりイメージが浮かびません。

Aベストアンサー

Aの零空間までは下の説明で良いのですが、行空間の部分を訂正させていただきます。Aの行空間を作る横ベクトルをd,e,fとし内積を(,)とすると Au の成分は (d,u), (e,u), (f,u) となります。すなわちuのd,e,f方向への射影となります。d,e,fのうち一次独立なものが二つしかないときuの成分x,y,zをいろいろ変化させるとAuは一つの平面になります。この平面に垂直なベクトルの集合がAの転置行列の零空間です。これはAの余核(Cokernel)と呼ばれています。

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Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
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※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
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なれないうちは、
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Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む

Q任意の行列のQR分解の証明

任意の実数を成分とするn*n行列Aが直交行列Qと上三角行列RによってA=QRと分解できる事はどう証明すればいいんでしょうか?
Aが正則ならシュミットの直交化法で直交行列Qを作れますが、正則でないとAの正規直交基底がn個得られませんよね?

Aベストアンサー

> Aが正則ならシュミットの直交化法で直交行列Qを作れますが、正則でないとAの正規直交基底がn個得られませんよね?

そこまでお分かりなら、あとは単純。
グラム-シュミットの直交化をやると、基底m個(m<n)が出た時点でAの全部の縦ベクトルが表せてしまう。だから、Rの上からm行以外は全部0ですね。ということは、Qの残りのn-m列が何であっても
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Q開集合がコンパクトでない理由

コンパクトとは、有限と無限に関するもの(有界閉集合)である
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しかし、開集合がコンパクトでない理由がいまいち分かりません。
たとえば、よく教科書に掲載されている例として
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で覆うというものがあり、これは有限部分被覆を持たないというものです。

でも、Xnの最後は(-1,1)なので、この一つをとりだせば
それだけで有限被覆となると思います。
この矛盾はどこから来るのか分かりません。

どなたか、ご教授ねがいます。

Aベストアンサー

>(-1,1)にならないといことは、やはり、Xnは(-1,1)の開被覆ではないということになってしまいます。

なりません.質問者はεδや無限に対する理解が
かなり怪しいのでしょう.

(-1,1)にならなくたって被覆です.
たとえば,εを-0.99999 にしましょう.
nをものすごーく大きくする,たとえば, n=100000にすると
n/(n+1)=0.999990000099...
となるので
(-n/(n+1),(n/(n+1))にεは含まれるのです.
(-1,1)に含まれるどんな数をもってきても
このようにその数を含む(-n/(n+1),(n/(n+1))を
必ずとることができます
#ε=n/(n+1)をnについてといて
#それ以上の整数をとればよい.

したがって,{Xn}は(-1,1)の開被覆です.

しかし,どんなにがんばっても有限個で覆うことはできません.
有限個でとめたとしたら,
n/(n+1)は1にはなれないので,n/(n+1)と1の間の数が
こぼれてしまうのです.
こういうのを「稠密性」というのでした.

ちなみに
>コンパクトとは、有限と無限に関するもの(有界閉集合)である
>ことは何となく分かっているつもりです。
この理解は明らかな誤りですので
正しく理解しましょう.
有限と無限,有界はそれほどは関係しません.
ちなみに,コンパクトと有界閉集合は別の概念であり,
ある特定の条件において同値であるということも
理解しましょう.

>(-1,1)にならないといことは、やはり、Xnは(-1,1)の開被覆ではないということになってしまいます。

なりません.質問者はεδや無限に対する理解が
かなり怪しいのでしょう.

(-1,1)にならなくたって被覆です.
たとえば,εを-0.99999 にしましょう.
nをものすごーく大きくする,たとえば, n=100000にすると
n/(n+1)=0.999990000099...
となるので
(-n/(n+1),(n/(n+1))にεは含まれるのです.
(-1,1)に含まれるどんな数をもってきても
このようにその数を含む(-n/(n+1),(n/(n+1))を
必ずとること...続きを読む

QA,Bをn次正方行列とする場合、|A B B A|=|A+B||A-

A,Bをn次正方行列とする場合、|A B B A|=|A+B||A-B|を証明したいのですが。

Aベストアンサー

最初、質問の意味が全く解らなかったのですが、
次の質問 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5907606.html
と見くらべると、どうやら、2n 次の行列式
|A  B|
|B  A|
のことを言っているようですね。それなら、値は
|A+B||A-B|
と等しくなります。なるほどね。

行列式の基本変形をしてみましょう。
|A  B|
|B  A|
の第 n+k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 k 列へ加えると、
|A+B  B|
|B+A  A|
となります。更に、
第 k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 n+k 列から引くと、
|A+B  B|
|O  A-B|
です。

このブロック三角行列の行列式が、行列式の積
|A+B||A-B|
になることは、Σ を使った行列式の表示
(http://www.snap-tck.com/room04/c01/matrix/matrix08.html
のような…)に、
左下の 0 となる成分を代入してみれば、確認できます。

Q固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

( -7 -5 )
( 13 9 )

の2x2行列で固有値を求めると 1±2i になると思いますが

Av = λv の形で固有ベクトルを求めようとすると

( -8 + 2i ) x - 5 y = 0
13 x + ( 8 + 2i ) y = 0

の形になり、その先を求めることが出来ません。
何度も計算したので最後の2つの式は間違いは無いと思うのですが、
固有値が複素数の時は、Av = λv の方法で計算することは出来ないということでしょうか?
またどのように計算できるのでしょうか?
お知恵をお貸しいただければ幸いです。

Aベストアンサー

固有値は1±iになるかと…

そこから先の計算は普通に実数の時と同じ方法で計算できます.


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