こんxxは!
24歳の社会人です。
掛け算の9の段について質問させてください。
掛け算において9を掛けて出てきた答えの各桁を合計すると必ず9の倍数になるのは何故ですか?
プログラムで簡単に確認してみたところ、確認した全ての答えの各桁を合計した数字は必ず9の倍数となっておりました。
↓以下が簡単にではありますが確認したプログラムです。
http://codepad.org/ucZhtoEq
この各桁の合計が必ず9で割り切れるのは、すべての9*n(ただし0<n)において確かなのでしょうか?
それを証明するようなことはできますでしょうか?
よろしくおねがいします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
成り立つ。
例えば、9n が 3 桁の数で、各桁の数字が a,b,c
だったとすると、9n=100a+10b+c.
9n の各桁の数の合計 s は、s=a+b+c.
よって、9n-s=99a+9b だと判る。
右辺が 9 の倍数だから、左辺も 9 の倍数であり、
s は 9 の倍数となる。
9n の桁数を一般化すると、100a+10b+c の替わりに
Σ を使って書かなくてはならないが、
ややこしくなるのは式の見た目だけで、
やってる内容は変わらない。
ありがとうございます!
ここまで噛み砕いて説明していただければ完全に納得です!
9mの桁数の一般化から先は自分で考えてみたいとおもいます!
ありがとうございました!
No.3
- 回答日時:
さて・・面倒ですがちょっと解説しましょうか。
とりあえず、2桁の数字から。
2桁の整数はの十の位をa、一の位をbとすると、
「10a+b」(a・b共に自然数)と表すことが出来る。
(例:27=(10×2)+7、53=(10×5)+3 など)
この時、
10a+b=a+9a+b
=9a+(a+b)
9aは9の倍数であるから、a+bが9の倍数であれば、
元の2桁の整数「10a+b」も9の倍数と言える。
よって、2桁の整数の各桁の合計が9の倍数であるとき、元の整数は9の倍数である
3桁の場合。
3桁の整数の百の位をa、十の位をb、一の位をcとすると、
「100a+10b+c」と表すことが出来る。
この時、
100a+10b+c=99a+a+9b+b+c
=99a+9b+(a+b+c)
99a、9bは9の倍数であるから、a+b+cが9の倍数であれば、(以下略)
(以下続行、ただし省略)
9nの形がお好みなら、
9(11a+b)+(a+b+c)としてもOKです。
4桁なら
9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
5桁なら
9(1111a+111b+11c+d)+(a+b+c+d+e)
6桁なら(以下続行、ただし省略)
後ろの括弧内が9の倍数であれば、これらの式は9の倍数を表していると言える。
つまり、各桁の数の合計が9の倍数であれば、元の数は9の倍数と言える。
こんな感じで中1レベルで証明できます。
3の倍数についても同様です。
ありがとうございます!
更新のタイミングミスでこちらの解説を見る前にベストアンサーを選択してしまいました…申し訳ありません。
大変わかりやすい解説、本当にありがとうございます!
これで今夜はぐっすり眠れそうです!
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