偏微分方程式の一般解などについて

偏微分方程式の一般解などについて

二点質問があります。

１． 「n階偏微分方程式の一般解はn個の任意関数を含む」とテキストにあったのですが、なぜそう言えるのでしょうか？
n階常微分方程式の場合は、n回積分してやればn個の任意定数が出てくる、というように理解できるのですが、偏微分方程式の場合はどう考えたらよいのかよく分かりません。とくに、なぜ任意「定数」ではなく、任意「関数」なのでしょうか？

２． １に関連しますが、偏微分方程式の一般解であるための必要十分条件みたいなものはあるのでしょうか？たとえば、n階常微分方程式ならn個の線形独立な基本解の線形結合が一般解となると思うのですが、偏微分方程式の場合はどうなんでしょうか？

どうぞよろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： Knotopolog 回答日時： 2013/06/28 11:06

＞とくに、なぜ任意「定数」ではなく、任意「関数」なのでしょうか？

常微分方程式の独立変数を x とすると，「定数」を x で微分すれば，０（ゼロ）です．

同様に，偏微分方程式の独立変数を x, y とすると， y の関数 Y(y) を x で偏微分すれば，０（ゼロ）です．

以上のような理由からです．


＞偏微分方程式の一般解であるための必要十分条件みたいなものはあるのでしょうか？

一般的には，ありません．つまり，全ての偏微分方程式が解けるための必要十分条件は，ありません．

一般的に，偏微分方程式は，二つ以上の独立変数を含みますから，非常に広範囲で奥深いため，むしろ，解けない場合の方が多いです．つまり，或る偏微分方程式が与えられたとき，初等関数や特殊関数，無限級数などを使っても，解が表現できないことがあります．

現在の偏微分方程式に対する多くの対処方法は，必要な点の近傍に関してだけを数値解析で解くというものです．