微分は比例の概念がなくても理解可能ですか

Question

積分にも同じようなことがいえるでしょうか。小学校で習った比例の理解が完璧でないと理解できないというようなことがないでしょうか。

alice_44 · Accepted Answer

細かい定義の話は別にしても、大体の方向として、
非線型なものを線形近似で扱いやすくしよう
というのが、微分の考えの根本です。
比例じゃないものを比例を通して理解しようという
ことなんだから、比例抜きには語れないでしょう。

関数の線型近似を表に出さないアプローチとして、
線型写像で D(fg) = D(f) g + f D(g) を満たすような
D を「微分」と呼ぶ方法もあるけれど、その場合も、
D が線型であることは外せない。スカラー c に関して
D(cf) = c D(f) は比例だろ？と言われれば、
言い逃れのしようがない訳です。

stomachman · Answer

全く無理だと思う。
　比例や比の概念が難しい人は、小学校の算数の段階で何か大きく躓いているんでしょう。「微分」なんて言葉を憶えるまでに何年か経過していると考えられ、ところがいまだにその躓きを補綴しないまま放置している。
　学習環境の問題なのか、ご当人の意欲や能力の問題なのか、いずれにせよ、ワカランことが少々出てきたぐらいで迷子になっちゃうようでは、微分・積分ばかりじゃなく、いろんなところで行き詰まるでしょう。
　小学校の算数から地道に復習する。その過程で、分からないことをそのままにしないで納得できるまで考える、という経験を積み重ねて「学習の能力」というものを身に付けることが先決です。小学校の算数なんざ、小学生のガキにだって分かることなんだから、難しいワケがありません。急がば回れ！

asuncion · Answer

＞微分は比例の概念がなくても理解可能ですか

まあ、無理でしょう。

mnakauye · Answer

こんにちは。

結論から言えば、どの分野でも理解が完璧だと言える人はいませんので、そんなことは気にせず、

理解できるところから理解すれば良いのです。

もう少し乱暴な言い方をすれば、わからないときには、丸覚えして問題を解く練習をして

みても良いと思います。

演習をたくさんして経験をつむと、最初は丸覚えだったところが、「ああそういうことなんだ。」

と理解できることもあります。

もちろん数学は以前の知識が必要なのですが、あるテーマを理解するのに、それ以前の

その分野の基礎と言われるところを、「完璧に理解」などしているはずがないのです。

数学はそんなに単純な学問ではないだけに、いわゆる高いレベル（上位概念）のことを学んでいるうちに、

基礎的な部分を、「へえーそうだったのか。」と理解できることもあるのです。

私も子供のときに、高等学校の先生に、「数学は積み上げの学問だから基礎がわかっていないと・・・」

などといわれて、ずいぶん遠回りしました。

しかしとりあえずそのテーマに取り組み、やってみてどうしても避けられない基本があれば、

そこだけ復習でぃ理解することです。

完璧にわかっているつもりでそうではない具体例を挙げますと、

別の分野ですが、コンパスと定規で無理数の長さを作図するとき、√内が自然数の

√１から√（１０）までのうち、作図が最も難しいのはいくつか。

（ただし、√２を使って√3を作るような方法ではなく、つまり他の無理数の作図を

使わないで、有理数の世界で新しい数の概念、無理数の出現を図る。）

こんな簡単な問題でも、とっさには答えられませんし、無理数がわかっていると思っている

多くの人はそんなこと考えたこともないでしょう。

比例と微積分に関していえば、面白い本があります。

瀬山士郎著　「数学と算数の遠近法」　早川書房

です。

私もこの本を読んで、「ああ、そうか、気が着かなかったなあ。」と思って部分がいくつかあります。

数学はどこから始めても面白いです。

微分は比例の概念がなくても理解可能ですか

細かい定義の話は別にしても、大体の方向として、

この回答への補足

全く無理だと思う。