対角化の可能性

「行列A={[1,0,0], [0,3,2],[0,0,1]}と固有値がすべて同じで、かつ対角化が不可能である３行３列の行列は存在する。そのような行列を、対角化が不可能である理由を添えて一つ考える。」という問題が分かりません。どなたか、回答よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/03 16:32

No.1 で挙げた B について、

＞ 対角化不能です。
＞ 対角化可能であれば、対角化の変換行列の各列が、
＞ (3本の)一次独立な固有ベクトルになるはずですが、
＞ Bx=1x または Bx=3x を解いてみても、
＞ 解 x は全部で 2 次元にしかならないからです。
と、書きました。読みましたか？

A について (Ax=1x または Ax=3x) を解くと、
Ax=1x の解として x={[1],[0],[0]} と x={[0],[1],[-1]}、
Ax=3x の解として x={[0],[1],[0]} を挙げることができ、
この三つの列ベクトル
{[1],[0],[0]}, {[0],[1],[-1]}, {[0],[1],[0]} は一次独立です。
解 x の空間が(A の次数と同じ) 3 次元になる訳です。

このようになるとき、三つの列を並べて
P = {[1,0,0],[0,1,1],[0,-1,0]} と置けば、
対角行列 D = {[1,0,0],[0,1,0],[0,0,3]} に対して
AP = PD が成立しています。
これが、A の対角化 D = (P^-1)AP です。

標語的には、「固有ベクトルの数が、固有値の重複度ぶんだけ
揃っていれば、対角化できる」ということになります。

この回答へのお礼

ようやく理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2013/07/03 19:21

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/29 23:40

その A の固有値は、1,1,3 です。

(1 が重根)
行列 B =
　1　1　0
　0　1　0
　0　0　3
を考えると、
B は A と(重複度をこめて)同じ固有値を持ち、
対角化不能です。
対角化可能であれば、対角化の変換行列の各列が、
(3本の)一次独立な固有ベクトルになるはずですが、
Bx=1x または Bx=3x を解いてみても、
解 x は全部で 2 次元にしかならないからです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。行列Aは対角化可能のようですが、それはなぜでしょうか。

お礼日時：2013/07/03 13:32