【お知らせ】カテゴリの見直しについて

畳み込みについて勉強し始めたばかりなのですがどうしてもわからないとことがあったため投稿させていただきます。
私は以下のurlから畳み込み和について考えていました。
http://www.ic.is.tohoku.ac.jp/~swk/lecture/yaruo …

ここでは、単位インパルスδ(t)から応答関数h(t)を考え入力信号x(t)を離散化し、応答関数をそれぞれの入力の大きさで倍にしてその値を重ね合わせで出力信号y(t)を計算していると私は理解しています。

ここで、畳み込み積分を考えますと畳み込み積分は
y(t)=∫h(τ)x(t-τ)dτ
となりますので、応答関数h(t)と入力信号x(t)に関してその時間に応じた面積を計算しているんだろうなーという風に考えています。
以下のurlにある入力信号と出力信号が矩形波の図からそのことを考えました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%95%B3%E3%81%BF% …


そこで疑問が浮かびました。
上で示す畳み込み和による考えならば
wikiに書いてあるような矩形波と矩形波の畳み込みを考えるときに
単純に出力を足し合わせていくと最大値が1ではなくもっと大きな値になるんではないでしょうか??


おそらく自分が理解できていないところがまだあるんだと思います。
馬鹿な質問かもしれませんが、何日か悩んでもよくわかりません。
よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

積分をリーマン和で近似するなら、


足しっぱなしにしないで、柱形の幅を掛けなきゃ。
    • good
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この回答へのお礼

あーー
今、気が付きました!!!

ありがとうございます。非常にすっきりしました!!

お礼日時:2013/06/30 09:43

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Q並列分散処理に適したプログラム

タイトルの通り並列分散処理に適したプログラムって総和以外にどんなものがあるのでしょうか?
アルゴリズムとか参考になるページとか教えてもらえると助かります。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

私は並列分散処理をやったことはありませんが・・・。
なかなか回答が付かないようなので・・・。

連立一次方程式は並列分散処理で早くなるのではないでしょうか。

並列分散処理に関する私の知識はきわめて少ないので、大した回答が出来ません。
下記の本を探されては如何でしょうか。

はじめての並列プログラミング
共立出版 1998年
湯淺太一、安村通晃、中田登志之

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4320029402/ref=sr_aps_b_/250-6190817-6320208

http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookhtml/0306/002439.html

かなり広範囲の知識を前提にしている本です。
けして初心者向けではありませんので、
ご注意下さい。

参考URL:http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookhtml/0306/002439.html

Q畳み込み積分と畳み込み演算

こんにちは。
今、ディジタル信号処理についてレポートを作成しています。

その中で、畳み込みについて書こうと調べているんですが、
手元にある参考書などをみてもよくわからないんです。

まずひとつ、
Σx(t)y(t-i)
この式で表されるものを、畳み込み演算と言うのだと思っていました。
しかし過去の質問を見て、これは実は畳み込み和と言うのではないかなと思ったのですが、畳み込み和でいいのでしょうか?

そして、畳み込み積分と畳み込み和は、一体何が違うのかがよくわかりません。
畳み込み積分と畳み込み和は、具体的に何が違うのか?
どのような時は畳み込み積分で、どのようなとき畳み込み和なのか?
また、畳み込み和→畳み込み積分(orその逆)のように、
式の変形で導き出すことはできるのでしょうか?

畳み込み和は、行列の形に表せること、
これをシステムとして実現したものがFIRフィルタであることはわかります。
畳み込み積分については、
∫h(t-τ)x(τ)dτ=h(t)*x(t)
という式であることぐらいしかわかりません;

できるだけ詳しく教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

こんにちは。
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まずひとつ、
Σx(t)y(t-i)
この式で表されるものを、畳み込み演算と言うのだと思っていました。
しかし過去の質問を見て、これは実は畳み込み和と言うのではないかなと思ったのですが、畳み込み和でいいのでしょうか?

そして、畳み込み積分と畳み込み和は、一体何が違うのかがよくわかりません。
畳み込み積...続きを読む

Aベストアンサー

勘違いしていました
もっとシンプルです

ディジタル信号や離散時間信号は

xs(t)=Σ[n:-∞<n<∞]・x[n]・δ(t-n・T)

と言う風に表されますから


インパルス応答が
hs(t)=Σ[n:-∞<n<∞]・h[n]・δ(t-n・T)
の処理系を通すと出力は

∫dτ・xs(τ)・hs(t-τ)
=∫dτ・xs(t-τ)・hs(τ)

で表され離散時間系であっても積分形で表現できます


ということでhl(t)なるものを癌が得る必要はありません

Q一次合同式の解き方

3x≡6(mod9)のxを求めよという問題でgcd(3,9)= 3より6は3の倍数であるので解を持つことは分かるのですが,xを具体的に求めることができません.参考にしたサイトは
ttp://www2.cc.niigata-u.ac.jp/~takeuchi/tbasic/BackGround/ExEuclid.html「ここの拡張ユークリッド互除法の応用例2」の部分です.
拡張ユークリッドの互除法を用いても
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xをどのようにすれば求めることができますか?手計算で表を書けば出来るという話ではなく参考サイトのように数学らしい(?)の解き方でお願いします.

Aベストアンサー

そこまで出来ているなら
  3*1 ≡ 3 (mod 9)
の両辺に2を掛けて
  3*2 ≡ 6 (mod 9)
より、x=2が解の一つ。
でもx=5もx=8も解だからこれでは不十分な事が分かる。

自分なら次のように解くかな。
  3x ≡ 3*2 (mod 9)
より、両辺を3で割りたいところだが、その前にgcd(3,9)=3であることに注意して
  x ≡ 2 (mod 3)
これが答え。


一般に
  a*c ≡ b*c (mod m)
のとき
gcd(c,m)=1ならば
  a ≡ b (mod m)
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  a ≡ b (mod m')
(ただしm'はm=d*m'であるような整数)

QMACアドレス(物理アドレス)についてわりやすく教えてください。

MACアドレス(物理アドレス)についてわりやすく教えてください。

1.MACアドレスというのはパソコンかルーターの固体識別番号という認識であっていますか?
2.インターネット接続を介した他のパソコンやサイトとのやり取りは、IPアドレスだけが相手に伝わるという認識でしたが、このMACアドレスというのも普通に接続相手にわかるものなのですか?
3.自分のMACアドレスというのはどういう条件で、他の人に漏れるのでしょうか?
4.MACアドレスというのはどれくらいの頻度で変りますか?
5.MACアドレスが接続先に伝わらないようにする方法はありますか?その方法でなにか注意点はありますか?
6.MACアドレスを変える方法はありますか?あるとしたらどういった支障がありますか?その支障を回避する方法はありますか?

Aベストアンサー

>1.MACアドレスというのはパソコンかルーターの固体識別番号という認識であっていますか?

違います。

ネットワーク機器(無線LAN、有線LANで繋がるデータを送受信する機器すべて)に付く、固有番号です。

パソコンやルーターに限った物ではありません。

また、ノートPCの場合、無線LANと有線LANが使える場合、それぞれに異なるMACアドレスが付いています。

例えば「PCにNIC(ネットワークカード)を3枚搭載する」と、それぞれ1枚ごとに異なるMACアドレスが付いているので、そのPCは3つのMACアドレスを持つ事になります。

>2.インターネット接続を介した他のパソコンやサイトとのやり取りは、IPアドレスだけが相手に伝わるという認識でしたが、このMACアドレスというのも普通に接続相手にわかるものなのですか?

貴方のPCが外部に送信しようとしたパケットは、ルーターに送られるので「PCに搭載されたネットワーク機器が送信元、PCが繋がってるルーターが宛先」になっています。

それを受け取ったルーターは、外部と繋がっているモデムや回線端末装置にパケットを送り出すため「PCが繋がってるルーターが送信元、モデムや回線端末装置が宛先」にMACアドレスを書き変えて、モデムや回線端末装置に送ります。この時点で、貴方のPCのMACアドレスはパケットから消えています。

それを受け取ったモデムや回線端末装置は(以下略)、と言う感じで「機器を経由するごとに、送信元と宛先のMACアドレスが付け変えられる」ので、最初のMACアドレスは受信者には判りません。

>3.自分のMACアドレスというのはどういう条件で、他の人に漏れるのでしょうか?

データの中に発信元のMACアドレスを含ませてあるプロトコルを使用した場合に漏れます。

>4.MACアドレスというのはどれくらいの頻度で変りますか?

MACアドレスは「ローカルなMACアドレスを設定する場合に限り、MACアドレスを変更する事が出来る機器」を使って「人間が明示的に変更を指示した時」にしか変わりません。

MACアドレスが変更できない機器の場合、MACアドレスはグローバルアドレスになっていて、世界に唯一無二で、変更する事は出来ません。

>5.MACアドレスが接続先に伝わらないようにする方法はありますか?その方法でなにか注意点はありますか?

データの中に発信元のMACアドレスを含まないプロトコルを使用すれば接続先に伝わりません。

>6.MACアドレスを変える方法はありますか?あるとしたらどういった支障がありますか?その支障を回避する方法はありますか?

「ローカルなMACアドレスを設定する場合に限り、MACアドレスを変更する事が出来る機器」を使えばMACアドレスを変えられます。

MACアドレスを変えた場合、同一のLAN内に同じMACアドレスの機器が複数あると、MACアドレスが重複している機器はLAN内で通信出来なくなります。

そうなった場合「MACアドレスが重複しないように、MACアドレスを設定し直す」しかありません。

>1.MACアドレスというのはパソコンかルーターの固体識別番号という認識であっていますか?

違います。

ネットワーク機器(無線LAN、有線LANで繋がるデータを送受信する機器すべて)に付く、固有番号です。

パソコンやルーターに限った物ではありません。

また、ノートPCの場合、無線LANと有線LANが使える場合、それぞれに異なるMACアドレスが付いています。

例えば「PCにNIC(ネットワークカード)を3枚搭載する」と、それぞれ1枚ごとに異なるMACアドレスが付いているので、そのPCは3つのMACアドレスを...続きを読む

Qシンク関数のフーリエ変換

現在独学でフーリエ変換を勉強しています。
矩形波のフーリエ変換はsinc関数になることは分かりました。
そこで、sinc関数を逆フーリエ変換すると矩形波となると思ったのですが、
sinc関数のフーリエ変換が矩形波であると書いてあるサイトがありました。

なぜ逆フーリエではなく、フーリエが矩形波となるのですか。
また、sinc関数をフーリエ変換する過程が分かりません。
どなたか分かる方がいましたら、途中式をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

フーリエ変換とフーリエ逆変換は双対関係にあるからです。
つまり時間t領域とf(ω=2πf)領域を入れ替えても数式的に
フーリエ変換とフーリエ逆変換の関係が成り立つ関係にあると言うことです。

詳細は以下URLをご覧下さい。
http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/InfSys1/basic/chap4/index.htm
http://www12.plala.or.jp/ksp/fourieralysis/Fourier/
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B

>なぜ逆フーリエではなく、フーリエが矩形波となるのですか。
>また、sinc関数をフーリエ変換する過程が分かりません。
定義式で
(t,f)→(f,-t)と形式的に置き換えてもフーリエ変換対が成り立つということです。
つまり、g(t)のフーリエ変換をG(f)、G(f)の逆変換をg(t)とすれば定義より
G(f)=√(1/2π)∫[-∞,∞]g(t)e^(-i2πft)dt
g(t)=√(1/2π)∫[-∞,∞]G(f)e^(i2πft)df
機械的に、(t,f)=(f,t)で置換し、式を上、下入れ替えると
g(f)=√(1/2π)∫[-∞,∞] G(t)e^(i2πft)dt
G(t)=√(1/2π)∫[-∞,∞] g(f)e^(-i2πft)df
t→-tで置換すると
g(f)=√(1/2π)∫[∞,-∞] G(-t)e^(-i2πft)(-dt)
=√(1/2π)∫[-∞,∞] G(-t)e^(-i2πft)dt
G(-t)=√(1/2π)∫[-∞,∞]g(f)e^(i2πft)df
G(f)が偶関数であれば、G(-t)=G(t)なので
g(f)=√(1/2π)∫[-∞,∞] G(t)e^(-i2πft)dt
G(t)=√(1/2π)∫[-∞,∞]g(f)e^(i2πft)df
(証明終わり)
導出された関係は、G(t)のフーリエ変換がg(f),
g(f)の逆変換がG(t)であることを示しています。
sinc関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/Sinc%E9%96%A2%E6%95%B0
は偶関数なので、上の式の関係が成立します。
奇関数でも変換の符号が変わる位でスペクトルの絶対値が変わるわけではありません。
また、フーリエ変換対の定義式は、3通り程ありますが、途中の変換で定数倍の係数がかかりますが、波形やスペクトルの形状が変わるわけではありません。

フーリエ変換とフーリエ逆変換は双対関係にあるからです。
つまり時間t領域とf(ω=2πf)領域を入れ替えても数式的に
フーリエ変換とフーリエ逆変換の関係が成り立つ関係にあると言うことです。

詳細は以下URLをご覧下さい。
http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/InfSys1/basic/chap4/index.htm
http://www12.plala.or.jp/ksp/fourieralysis/Fourier/
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B

>なぜ逆フーリエではなく、フーリエが矩形波となるので...続きを読む

Qeのマイナス無限大乗

lim(t→∞) 1-e^(-t/T)
T:定数

というのがあって、極限値が1になることは手計算で分かったのですが、
数学的に1になる理由が分かりません。

e^(-∞)=0になる理由を数学的に教えてください。

Aベストアンサー

e^(-n) = (1/e)^n
であり、
0<|1/e|<1
だから

Q窓関数(方形窓)について

EXCEL上でFFTをする際に窓関数を使用したいのですが、方形窓について教えてください。これは取り込んだデータにすべて1をかければよいのでしょうか?あと、方形窓を使用すると周波数分解能があがる?というようなことが調べたらのっていたのですが、どういうことなのでしょうか?どなたかお答え下さい。

Aベストアンサー

というか方形窓は FFT の基本ですよね。

FFT の考え方は、2べき数のサンプリングされた時系列データがあって、それが無限に繰り返されているとしたときの、周波数スペクトル(とその位相)を計算するものです。

(おっと、本来は逆ですね。以下、蛇足です。無限に繰り返される時系列データを、方形の窓関数で切り出して、スペクトルを計算する、というのが離散フーリエ変換です。ついでながら FFT とはちょうどサンプリングデータ数が2べき数の時に素早く計算できるアルゴリズムのことで、基本的な性質は離散フーリエ変換と同じです。)

ところがこれをそのまま実際のデータに応用すると、サンプリングの最後のデータの次のデータは(時系列は無限に繰り返されるので)、最初のデータになります。そのときにちょうどそのような感じでデータがたまたまサンプリングできれば良いのですが、実際そうはうまくいきません。で、どうなるかというと、最後のデータと最初のデータが急に大きく変化するような具合になって、その影響が FFT の結果に現れてます。つまり本来ない周波数成分が、最初と終わりの不連続(?)なデータによって現れたりします。

この問題を回避するのが方形以外の様々な「窓関数」です。窓関数を見ればお分かり頂けるとおもいますが、いずれも最後と最初のデータを小さくするようになっており、上記の影響を少なくしようとしているのが分かると思います。しかしながら、窓関数の影響も勿論あって、その多くの場合、得られるスペクトルがピークが低く、幅が広がるように「ぼけた」感じになってしまいます。この意味で、質問者さんがおっしゃるように「周波数分解能が下がる」わけです。

というか方形窓は FFT の基本ですよね。

FFT の考え方は、2べき数のサンプリングされた時系列データがあって、それが無限に繰り返されているとしたときの、周波数スペクトル(とその位相)を計算するものです。

(おっと、本来は逆ですね。以下、蛇足です。無限に繰り返される時系列データを、方形の窓関数で切り出して、スペクトルを計算する、というのが離散フーリエ変換です。ついでながら FFT とはちょうどサンプリングデータ数が2べき数の時に素早く計算できるアルゴリズムのことで、基本的な性質は離...続きを読む

Q畳み込みについて

関数f(t) (0≦t≦1のときf(t)=1、other f(t)=0)と関数h(t) (0≦t≦1のときh(t)=-t+1、other h(t)=0)の畳み込み積分y(t)=∫f(τ)h(t-τ)dτを実際に数値を入れて計算しろと言われたのですが、どのようにやったらいいのかわかりません。

自分の解釈では、τ=0.1のとき、y(t)は、y(0)=1.0、y(1)=1.9、y(2)=2.7、y(3)=3.4、y(4)=4.0 …
となるのでは?と思ったのですがどうも違うみたいです。どなたかわかる方がいましたらわかりやすく解説していただけないでしょうか?

Aベストアンサー

τ で定積分するってことは結果に τ は影響しません. 本当に f(τ) h(t-τ) を計算して τ で定積分すればいいんだけど, f(t) は 0 ≦ t ≦ 1 でのみ 1, その他で 0 となるので τ が 0 以上 1以下でなければ f(τ)h(t-τ) は t に無関係に 0 です. なので, 実質的には
y(t) = ∫(0 ≦ τ ≦ 1) h(t-τ) dτ
を計算しろって意味です. ここで h(t) も 0 ≦ t ≦ 1 でのみ 0 でない値を持つので,
t ≦ 0
0 < t ≦ 1
1 < t ≦ 2
2 < t
に場合分けして, それぞれで上の定積分を計算してください.

Qデジタル信号処理でのたたみ込み和

ここに質問を書くのは初めてです。
間違ったこと、してはいけないことがあった場合はご指摘ください。

質問です。
与えられた信号を解析して、そのパワースペクトルを図示する問題がでたのですが、
データ長が異なる場合のたたみ込み演算を行う方法が分かりません。
16000Hzで16000点の信号と標本化周波数の16000Hzでフィルタ次数101点の低域通過フィルタが与えられています。
この二つのたたみ込み和を周波数軸上でおこなって、そのパワースペクトルを図示したいのですがどうしたら良いでしょうか?
因みに、C言語で書かなければなりません。
ただ、計算方法が分かれば、プログラミングはできると思うので、「データ長が異なる2つのデータのたたみ込み和を周波数軸上でおこなう方法」を優先で教えて下さい。
質問文で分かるかもしれませんが、いまいち、理解できていないので、易しめに教えていただけると助かります。

Aベストアンサー

実を言うと、私は「フィルタ次数101点の低域通過フィルタ」と言われて、
それが正確に何を意味するかわからないのです。
(これは私の知識不足のゆえなのですが)

ただ、例えば入力信号を x[0],x[1],x[2],…,x[15999] としたとき、
その信号を低域通過フィルタに通した出力信号を y[k] とすると、
 y[k] = Σ *** x[k](?)
y[k] = Σ *** x[k] + Σ *** y[k](?)
 (詳しい式の形はわかりませんが)
のような関係式があるはずなのです。
そして、この式の表し方に流儀があり、
人によって表し方が違うのではないかとも思っています。
それで、フィルタの特性を数式で示して頂ければ
少しは助けになれるかもしれないと思い、#1の回答をした次第です。

そんなわけで、少し難しいかもしれませんが、
フィルタの特性を数式で示して頂けないでしょうか?

Q相関と畳み込み

現在信号処理やフーリエ変換の勉強をしておりますが
イメージがつかめないことがあります。

ある信号f(t)があった場合を考えると、Wiener-Khinchinの定理により、
f(t)の自己相関のフーリエ変換とパワースペクトルは等しいとあります。
これは納得したのですが、ネット等で調べますと、
パワースペクトルはf(t)のフーリエ変換の2乗、|F(ω)|^2 との記述もあります。
                      __
周波数領域では、|F(ω)|^2 =F(ω)F(ω) なので、
                __       __
時間領域に直すと、f(t)*f(t) = ∫f(τ)f(t-τ)dτ
と畳込みで表現出来ると思います。

これはつまり相関を取ることと畳み込みを行うことは同じと見なしてよいのでしょうか?
相関はf(t+τ)、畳込みはf(t-τ)の違いがよくわかりません。
どなたかわかる方は解説をお願いしたいです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

f(t) が実数であっても F(ω) は複素数ですから、

>> 周波数領域では、|F(ω)|^2 =F(ω)F(ω) なので、

という部分が間違いです。正しくは、

|F(ω)|^2 = (F(ω)) (F(ω)の共役複素数)

です。

このことをより深く理解するために、
f(t)*f(t) と f(-t)*f(t) を比較してみます。

畳み込みの定義式により、

f(t)*f(t) = ∫[τ=-∞~∞] f(τ)f(t-τ)dτ です。

この式の最初の f(t) を f(-t) に替えると、
f(-t)*f(t) = ∫[τ=-∞~∞] f(-τ)f(t-τ)dτ となります。
τ=-τ' により置換積分すると、
dτ=-dτ' であり、積分範囲は反転して τ'=∞~-∞ になりますので、

f(-t)*f(t) = -∫[τ'=∞~-∞] f(τ')f(t+τ')dτ'
 = - { -∫[τ'=-∞~∞] f(τ')f(t+τ')dτ' }
 = ∫[τ'=-∞~∞] f(τ')f(t+τ')dτ'

となり、これは f(t) と f(t) の相関を表しています。

以上の事柄をまとめると、

畳み込みは f(t-τ) をかけて積分するが、
 相関は f(t+τ) をかけて積分する
畳み込みは f(t) をそのまま畳み込みすればよいが、
 相関は f(-t) を畳み込みする必要がある
畳み込みのフーリエ変換は F(ω) をかけることにより得られるが、
 相関のフーリエ変換は F(ω) の共役複素数をかけなければならない

となります。

なお、f(t) のフーリエ変換が F(ω) であるとき、
f(-t) のフーリエ変換は F(ω) の共役複素数になります。

f(t) が実数であっても F(ω) は複素数ですから、

>> 周波数領域では、|F(ω)|^2 =F(ω)F(ω) なので、

という部分が間違いです。正しくは、

|F(ω)|^2 = (F(ω)) (F(ω)の共役複素数)

です。

このことをより深く理解するために、
f(t)*f(t) と f(-t)*f(t) を比較してみます。

畳み込みの定義式により、

f(t)*f(t) = ∫[τ=-∞~∞] f(τ)f(t-τ)dτ です。

この式の最初の f(t) を f(-t) に替えると、
f(-t)*f(t) = ∫[τ=-∞~∞] f(-τ)f(t-τ)dτ となります。
τ=-τ' により置換積分すると、
dτ=-...続きを読む


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