数列の問題

自然数nに対して、a_n=1+1/2+‥‥+1/n-log(n+1)とする。

このとき、次の問いに答えよ。

(1)
1/(n+1)<log(n+1)-long<1/nを示せ。
1/xのグラフより、[n,n+1]において、高さ1/(n+1)の長方形、高さ1/nの長方形、積分値を比べて、成り立つことを証明。

(2)a_n<1を示せ。
a_nにおいて,(1)より、1/2～1/nにおいて、1/(n+1)<log(n+1)-lognを用いて、
プラスとマイナスで0になった項を消していき、
a_n<1-{log(n+1)-logn}　　　さらに、同じ不等式を使って、
<1-1/(n+1)
<1
で示した。

これをふまえて、

(3)数列{a_n}は単調増加であることを示せ。

(3)について教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/04 12:30

a[n] の定義式から、素直に階差を作ると、

a[n]- a[n-1] = 1/n - log(n+1) + log(n) です。
ここで、(2)の最後で log を消去したのと
同じことをすると、
a[n] - a[n-1] ≧ 1/n - 1/n = 0 となります。