ε-δを用いた証明が分かりません

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質問者：sin_cermons
質問日時：2013/07/06 23:32
回答数：3件

二問あります。

問１）
f : [0,1] → R　は単調増加とする。x_0 ∈ (0,1) とし、lim[x→x_0]f(x)は存在するとする。このとき、lim[x→x_0]f(x) = f(x_0)を示せ。

問２）
f : [0,1] → R　は単調増加とする。x_0 ∈ (0,1) とするとき、lim[x→x_0 - 0]f(x)、lim[x→x_0 + 0]f(x)が存在することを示せ。

大学で学んだばかりなのですが、定義を書き並べてみても解けません…

関数として証明するのか、点列を用いて証明するのか、の分別も明確には出来ない状態です。

ヒント・解説お願いいたします。

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回答 (3件)

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No.3ベストアンサー

回答者： muturajcp
回答日時：2013/07/08 05:38

R=(全実数)とする

1)
lim_{x→x0}f(x)が存在するからそれをbとすると
lim_{x→x0}f(x)=b
だからその定義から
任意の正実数ε>0に対して
ある正実数δ>0が存在して
|x-x_0|<δ,0≦x≦1となる任意のxに対して
|f(x)-b|<ε
となる
f(x_0)≠bを仮定すると
|f(x_0)-b|>0
εは任意の正実数だから
ε=|f(x_0)-b|とすると
このεに対しても
ある正実数δ>0が存在して
|x-x_0|<δ,0≦x≦1となる任意のxに対して
|f(x)-b|<ε
となり
x=x_0とすれば
|x-x_0|=0<δ,0<x_0<1だから
|f(x_0)-b|<ε=|f(x_0)-b|
となって矛盾する
∴
lim_{x→x0}f(x)=b=f(x_0)

2)
f:[0,1]→R,単調増加
0<x_0<1
A={f(x)|x<x_0,0≦x≦1}⊂R
B={f(x)|x>x_0,0≦x≦1}⊂R
とする
f(x)∈A→x<x_0,f(x)<f(x_0)
f(x)∈B→x>x_0,f(x)>f(x_0)
だから
AはRの上に有界な部分集合
BはRの下に有界な部分集合
だから(下記(*)から)
Aの上限supA=a∈R
Bの下限infB=b∈R
が存在する

supA=aだから
任意の正実数ε>0に対して
a-ε<f(x_1)<a,f(x_1)∈A
となるx_1がある
x_1<x_0
だから
δ=x_0-x_1
x_0-δ=x_1<x<x_0
となる任意のxに対して
f(x_1)<f(x)∈A
a-ε<f(x_1)<f(x)<a
∴lim_{x→x_0-0}f(x)=aが存在する

infB=bだから
任意の正実数ε>0に対して
b<f(x_2)<b+ε,f(x_2)∈B
となるx_2がある
x_2>x_0
だから
δ=x_2-x_0
とすると
x_0<x<x_0+δ=x_2
となる任意のxに対して
B∋f(x)<f(x_2)
b<f(x)<f(x_2)<b+ε
∴lim_{x→x_0+0}f(x)=bが存在する

(*)全実数の集合Rは
「有理数のコーシー列の同値類」又は
「有理数のdedekind切断の集合」
等によって定義され、定義から
実数のコーシー列は収束する(完備)。
A⊂R,Aは上に有界ならばAの上限が存在する
B⊂R,Bは下に有界ならばBの下限が存在する
等の性質が導かれる。