∫∫∫[V]dxdydz/(1+x) について

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質問者：datsun4
質問日時：2013/07/08 15:51
回答数：2件

V:x+y+z<=1 x,y,z>=0

自分でやってみて、
I=1/2∫(x-1)^2/(x+1)dxまで導いたんですが、ここで詰まっております。
なんらかのテクニックを使うのでしょうか？ご助言ください。

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： info22_
回答日時：2013/07/08 17:56

∫∫∫[V]dxdydz/(1+x)

=∫[0→1]dx/(1+x)∫[0→1-x]dy∫[0→1-x-y]dz
=∫[0→1]dx/(1+x)∫[0→1-x](1-x-y)dy
=∫[0→1]dx/(1+x)[y-yx-y^2/2][y:0→1-x]
=∫[0→1]dx/(1+x)[1-x-x(1-x)-(1-x)^2/2]
=∫[0→1] (1/2)(1-x)^2/(1+x)dx
なるほど
>I=(1/2)∫[0→1] (x-1)^2/(x+1)dxまで導いた
になりますね。
この続きは部分分数分解ですね。

I=(1/2)∫[0→1] (x+1-2)^2/(x+1)dx
=(1/2)∫[0→1] {(x+1)^2-4(x+1)+4}/(x+1)dx
=(1/2)∫[0→1] {(x+1)-4+4/(x+1)}dx
=(1/2)[x^2/2 -3x+4log(x+1)][0→1]
=(1/2)[(1/2)-3+4log(2)]
=2log(2)-(5/4)