微分積分の問題です。実数列{an}は、単調増加で上に有界であるものとする。...
実数列{an}は、単調増加で上に有界であるものとする。この{an}の上限をαで表す。したがって、
・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、
・任意の自然数eに対してaN > α-e となる自然数Nが存在する。
以下の3つの設問に答えよ。
(1)数列{an}の極限値はαであること、すなわち、任意の整数eに対し、n > Nのときには|an-α| < e となる自然数Nが存在することを示せ。
(2)数列{an}は、an = 1 - 1/n であれば単調増加で上に有界となることを示せ。
(3)設問(2)で与えた数列{an}の極限値αを求めよ。このαに対し、n > N のときに|an-α| < 0.001を満たす最小の自然数Nを計算せよ。
この問題の解説をどなたかよろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、
・任意の自然数eに対してaN>α-e となる自然数Nが存在する。
はαが{an}の上限である事の必要条件だけれども十分条件ではありません。
例)
an=(1/2)-(1/n)
α=1
とすると
任意の自然数eに対して
e≧1
e-(1/2)≧1/2>0
N>2≧1/{e-(1/2)}となる
自然数Nが存在する。
e-(1/2)>1/N
aN=(1/2)-(1/N)>1-e となる
自然数Nが存在する。
an=(1/2)-(1/n)の上限(最小上界)は1/2だから
1はan=(1/2)-(1/n)の上限(最小上界)でない
・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、
・任意の正実数e>0に対してaN > α-e となる自然数Nが存在する。
がαが{an}の上限である事の必要十分条件です。
(1)
数列{an}の極限値はαであるとき
任意の整数eに対し、n > Nのときには|an-α| < e となる自然数Nが存在しません
e=-1のとき常に|an-α|>-1=eとなるから「任意の整数e」は誤りです。
任意の正実数e>0に対し、n > Nのときには|an-α| < e となる自然数Nが存在すること
が数列{an}の極限値はαであることの定義です。
αが{an}の上限だから
任意の正実数e>0に対してaN>α-eとなる自然数Nが存在する。
n>Nのときには{an}が単調増加だからan>aN
α-e<aN<an≦α
α-e<an≦α
α-an<e,0≦α-an
0≦α-an<e
∴
|an-α|=α-an<e
(2)
自然数n,mに対して
n<mのとき両辺をmnで割ると
1/m<1/n
両辺に1-1/n-1/mを加えると
1-1/n<1-1/m<1
an<am<1
1は{an}の上界
∴
{an}は単調増加で上に有界
(3)
任意の正実数e>0に対して
N>1/eとなる自然数Nが存在する
n>Nとなる任意の自然数nに対して
|an-1|=|1-1/n-1|=1/n<1/N<e
だから
∴
α=lim_{n→∞}an=1
e=0.001とすると
N≧1/e=1/0.001=1000
N≧1000
n>N=1000
|an-1|=|1-1/n-1|=1/n<1/N=0.001
だから
N=1000
No.1
- 回答日時:
(1) これが本当に解らないんですか?
問題の仮定から、n>N のとき α≧an>aN>α-e ですが、
これを |an-α|<e と見比べて、何か感じませんか。
(2) 「単調増加」と「上に有界」の意味を確認してください。
n>m のとき an>am であることと、
任意の n に対して an≦β となる β があること
を示せばよいです。β は、具体的にひとつ挙げれば十分です。
β は、上界のひとつであれば、上限でなくて構いません。
(3) 今回は、上限 α を挙げなければならないのですが…
論証の細部は別として、α=1 であることは、普通、判りますよね?
ここは、直感で見つけないと。
不等式 |(1-1/n)-1|<0.001 を解くのは、難しくないと思います。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- 数学 「数列が無限大に発散するならばその任意の部分数列も発散する」という証明がありますが、 {an}= ・ 7 2022/07/31 10:42
- 数学 微分積分についての問題がわからないです。 2 2022/08/08 15:16
- 英語 "an amount of"の意味等について 2 2023/06/13 12:19
- 計算機科学 {an}5,7,11,19,35 階差数列を使って数列anを求める問題です 答えが2^n+3らしいで 2 2023/06/15 16:30
- 数学 実数の収束と上限 4 2023/01/20 22:46
- 数学 次の数列{an}の一般校を求めよ 0、5、16、33、56… 解説の写真の部分がわかりません、 数列 1 2023/06/16 15:11
- 数学 数bの問題です。 初項が-29、公差が3である等差数列anにおいて初項から第n項までの和をsnとする 4 2023/05/16 16:32
- 数学 第15項が31、第30項が61である等差数列{an}について考える。 初項から第n項までの和をsnと 1 2022/03/24 20:43
- 数学 数2Bの数列の問題です。 自分は、 まず数列 an=ar^(n-1)と置き こちらの問題の、y= の 1 2022/07/07 16:26
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
かけ算、割り算の移項
-
Xについての一次方程式、ー3分...
-
分数の掛け算・割り算について...
-
?÷5/8=4の答え、解き方を教えて...
-
X の求め方
-
あなたが勤務する商店で、新商...
-
3/1×3のついて
-
両辺ともに0以上なので、2乗し...
-
元から円への直し方
-
1≠0.999・・・となる例を考えた...
-
パーセントの計算
-
|a|-|b|≦|a-b|の証明の仕方
-
x人の20%の人数の求め方を教え...
-
中3です なぜ両辺を3で割ってか...
-
この複素数のn乗根の計算の問題...
-
√(3+4i)
-
展開図、型紙を作りたい。 写真...
-
伸び率のマイナス数値からのパ...
-
xかけるxって答えなんですか?
-
数学1.A基礎問題精講の問題なん...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
小学生算数の逆算について
-
かけ算、割り算の移項
-
分数の掛け算・割り算について...
-
?÷5/8=4の答え、解き方を教えて...
-
シグマ計算
-
元から円への直し方
-
|a|-|b|≦|a-b|の証明の仕方
-
パーセントの計算
-
あなたが勤務する商店で、新商...
-
比を簡単にするのに0.7対0.2は...
-
乗数が小数点の場合、四則計算...
-
両辺ともに0以上なので、2乗し...
-
X の求め方
-
比率の計算方法
-
計算式を解説して下さい。
-
分数の計算 20/20+x ×100=5
-
x人の20%の人数の求め方を教え...
-
オイラーの定理(経済学)について
-
なぜ11^10aにする必要があるの...
-
3回の平均を出す
おすすめ情報