積分計算

原点中心の半径r＞0(r￢＝1,2)の生の向きの円周Cに沿って
∫1/{z^2 (z-1) (z-2)dz の方法を教えてください。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/17 02:49

A No.2 に

A No.1 に書いてないことが
何かひとつでも書いてあるかどうか
について、いろんな人の意見を聞いてみたい。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/07/16 22:18

f(z)=1/{(z^2)(z-1)(z-2)}

特異点はz=0,1,2
特異点における留数は
Res(f,0)=3/4
Res(f,1)=-1
Res(f,2)=1/4
なので

0<r<1の時 閉路Cの中の特異点はz=0のみ
留数定理より
∫[C] 1/{z^2 (z-1)(z-2)} dz=2πiRes(f,0)=(3π/2)i

1<r<2の時 閉路Cの中の特異点はz=0,1のみ
留数定理より
∫[C] 1/{z^2 (z-1)(z-2)} dz=2πi{Res(f,0)+Res(f,1)}
=2πi{(3/4)-1}=-(π/2)i

r>2の時 閉路Cの中の特異点はz=0,1,2
留数定理より
∫[C] 1/{z^2 (z-1)(z-2)} dz=2πi{Res(f,0)+Res(f,1)+Res(f,2)}
=2πi{(3/4)-1+(1/4)}=0

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/16 21:32

「正の向きの円周」というのは、複素平面上

反時計回りの積分経路と解釈しておきます。
また、f(z) = 1/{(z^2)(z-1)(z-2)} と
書くことにします。

r の値によって場合分けが必要ですね。
留数定理により、
0<r<1 のとき
∫[C] f(z) dz = (2πi) Res[f(z), z=0],
1<r<2 のとき
∫[C] f(z) dz = (2πi){ Res[f(z), z=0] + Res[f(z), z=1] }
2<r のとき
∫[C] f(z) dz = (2πi){ Res[f(z), z=0] + Res[f(z), z=1] + Res[f(z), z=2] }
です。

lim[z→0] (z^2)f(z) = 1/2 ≠ 0 なので
z = 0 は f(z) の 2 位の極であり、
その留数は、Res[f(z), z=0]
= lim[z→0] (d/dz) (z^2)f(z) = 3/4.

lim[z→1] (z-1)f(z) = -1 ≠ 0 なので
z = 1 は f(z) の 1 位の極であり、
その留数は、Res[f(z), z=1]
= lim[z→1] (z-1)f(z) = -1.

lim[z→2] (z-2)f(z) = 1/4 ≠ 0 なので
z = 2 は f(z) の 1 位の極であり、
その留数は、Res[f(z), z=2]
= lim[z→1] (z-2)f(z) = 1/4.

これを上記に代入して整理するのは、自分でやってください。