積分計算

I=[0,1]とし、次の３つの曲線を考える。
C１:z(t)=t （t∈I)
C2:z(t)=t^99 （t∈I)
C3: z(t)=sin(πt/2) （t∈I)

∫[Ck] z dzを求めたいです。
答えは1/2になるのですが
方法を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/07/16 21:25

∫[C1] z dz=∫[0,1] tdt=[t^2/2][0,1]=1/2

∫[C2] z dz=∫[0,1] (t^99)*99(t^98)dt=99∫[0,1](t^197)dt
=99[(t^198)/198][0,1]=99/198=1/2

∫[C3] z dz=∫[0,1] sin(πt/2)*(π/2)cos(πt/2)dt
=(π/4)∫[0,1]sin(πt)dt=(1/4)[-cos(πt)][0,1]
=(1/4)(1+1)
=1/2

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/16 21:36

∫[C1] z dz = ∫[C2] z dz = ∫[C3] z dz

であることは、「置換積分」の名で知られています。
∫[C1] z dz だけ計算すればよいです。

∫[C1] z dz = ∫[0→1] t dt
= [t^2/2]_(t=0→1) = 1/2 です。