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真空中を伝わる電磁波、E=(E_x,E_y,E_z), H=(H_x,H_y,H_z)には、
∇×E=-μ∂H/∂t, ∇・E=0, ∇×H=ε∂E/∂t, ∇・H=0
が成り立っている。

(∇^2-εμ∂^2/∂t^2)E=0 の3次元の一般解を求め、波が縦波であるか証明せよ、最後にこの結果から言える物理的現象を記述せよ。


初期条件は書かれていないので、一般解は偏微分方程式を変数分離法で解くとそのまま文字が残って、
E=((A_1)cosω′t+(A_2)sinω′t)×((B_1)cos(ω_1)x+(B_2)sin(ω_1)x)×((C_1)cos(ω_2)y+(C_2)sin(ω_2)y)×((D_1)cos(ω_3)z+(D_2)sin(ω_3)z)

となりますが、ここから横波であることを証明するにはどうすればいいのでしょうか?
それとも、指数形で答えを出した方が考えやすかったですかね?


また、最後の物理現象ですが、「電場と磁場が互いに直交する」ということだと思ったんですが、この解から言えますか?

教えてください。

A 回答 (3件)

まず修正です。



>v: 波の速度ベクトル。

vはスカラーでした(^^;

E ですが、これは特定方向に任意形状のベクトル場が特定方向に向かう解が知られています。
私の示した解が波動方程式を満たすことはお分かりになると思います。

議論は横波かどうかという話でしたので、このような波に進行方向の変化成分が無いことを示しました。

より一般的な形状の波に対して、横波か縦波か示す方法は知りません。
多分もっと微分的な取り扱いが必要です。
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>波動を E = A(e・r - vt)



式の記号の解説を忘れてました。

r: 位置ベクトル。e: 波の進行方向を表す単位ベクトル。
v: 波の速度ベクトル。t: 時刻。E: 電場

この回答への補足

E = A(e・r - vt)

ということは、変数分離で求めた一般解をこの形で表せれば、証明は出来るということですね。

補足日時:2013/07/18 01:01
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波動を E = A(e・r - vt)



とすると、電磁波だから電場の発散は 0 なので

div E = e・grad(A) = 0

だから関数A は進行方向に対して変化が無い電場⇒電場の変化は進行方向に垂直⇒横波
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Q電磁波は横波?

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しかし、電磁波は横波だと聞きました。一体何を基準に縦波か横波かを決めているのでしょうか?

Aベストアンサー

多分、電場と磁場がベクトル量だということをご存知ないのではないでしょうか。
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電場というのはベクトル量、より正確には「ベクトル場」です。空間の各点に、ベクトルが定められています。磁場も同じです。その変化の伝播が電磁波です。

空間のベクトルは、一般に3つの数値、すなわちx成分、y成分、z成分で表すことができます。というのは、矢印の始点を座標原点に置いてみたときの、終点(矢印の先端)の座標(x,y,zの3つの数字)を使うことで、その矢印の向きと大きさを表すことができるからです。
いま、たとえば「z方向に進行する電磁波」があったとします。このとき、電場のx成分、y成分は空間的・時間的に振動している(波として伝播している)のですが、電場のz成分は変化していません。
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いつもお世話になっています。
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今z軸方向に伝わる電磁波を考えてみましょう。
光は横波なので電場の振動はx軸方向で起こることにします。

すると電磁波の電場成分は
Ex=f(z-ct)+g(z+ct)
Ey=0
Ez=0
となります。

ここでマクスウェル方程式の一つ
rotE+∂B/∂t=0
を使います。

この式を成分ごとに分けて先ほどの式を代入してやると次のような3つの式が出てきます。

∂Bx/∂t=0
∂By/∂t=-∂/∂z(f(z-ct)+g(z+ct))
∂Bz/∂t=0

ここで2番目の式のみを考えると
∂By/∂t=-∂/∂z(f(z-ct)+g(z+ct))
の右辺はzでの偏微分となっていますが、結局のところ変数はzとtのみなので、この式は単純に
∂By/∂t=-f'(z-ct)-g'(z+ct)
という形になります。

こいつの両辺をtで積分すると、
By=(1/c)(f(z-ct)+g(z+ct))
となります。

これを見れば磁場の振動が電場の振動と垂直なことは明らかです。
さらに言えるのは電場と磁場は同位相で伝播していくのです。

今z軸方向に伝わる電磁波を考えてみましょう。
光は横波なので電場の振動はx軸方向で起こることにします。

すると電磁波の電場成分は
Ex=f(z-ct)+g(z+ct)
Ey=0
Ez=0
となります。

ここでマクスウェル方程式の一つ
rotE+∂B/∂t=0
を使います。

この式を成分ごとに分けて先ほどの式を代入してやると次のような3つの式が出てきます。

∂Bx/∂t=0
∂By/∂t=-∂/∂z(f(z-ct)+g(z+ct))
∂Bz/∂t=0

ここで2番目の式のみを考えると
∂By/∂t=-∂/∂z(f(z-ct)+g(z+ct))
の右辺はzでの偏微分となっていま...続きを読む

Q分配関数(状態和)がわかりません。

統計力学とかで出てくる分配関数(状態和)がありますが、物理的な意味がよくわかってません。
Σexp(-β・ei)とありますがどういう意味なんでしょうか?

またある問題でエネルギー準位ε=(n+1/2)hνのN個の独立な調和振動系子の系があり
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となることを示せという問題があるんですが問題の意味すらよくわかりません。
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どうかお願いします。

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>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというように表すことが出来ますね。
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  =1
ということになります。

>速度やモーメントならしっくりきますが状態というのは一体何なんでしょうか?
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>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

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さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
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Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
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となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
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などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Qラウエ条件とブラッグ条件

ラウエ条件からブラッグ条件を導出することについて躓いているので教えてください。

散乱される波数ベクトルをs 、基本ベクトルをa とするとラウエ条件は
(1) s・a = 2πn n∈整数
ですが、(1)の左辺の内積を書き換えると
(2) |s||a|cosθ = 2πn
となり、更に波数ベクトルを波長で表せば
(3) (2π/λ)|a|cosθ = 2πn
これを更に書き換えれば
(4) |a|cosθ = nλ
これがブラッグ条件に相当する、とX線回折の本には書いてあるのですが、ブラッグ条件は一般的に
(5) 2d sinθ = nλ
のようにサインの形で書かれておりどうやって一致させているのかが分からず困っております。
角度の取り方がラウエ条件を考察する際とブラッグ条件を考察する際に違うのでしょうか?教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

>散乱される波数ベクトルをs 、基本ベクトルをa とする
>とラウエ条件は
>(1) s・a = 2πn n∈整数
この(1)式は逆格子ベクトルと結晶の位置ベクトルの関係式を表していますね。つまり、sを「逆格子ベクトル」とし、dを結晶の位置ベクトルとすると
 s・d=2πn  (2)
が成り立ちます。
ラウエ条件は入射波の波数ベクトルをk1、反射波の波数ベクトルをk2、逆格子空間の原点から〈hkl)なる逆格子点に至るベクトルをs(hkl)とすると
  s(hkl)=△k  (3)
で表されます。ここでs(hkl)は
s(hkl)=ha* + kb* + lc*
で定義され、sは実格子の格子面(hkl)に垂直で大きさ|s|は(hkl)面の面間隔d(hkl)の逆数に等しいという性質をもっています(a*,b*,c*は逆格子ベクトル)。
いま、弾性散乱を仮定しますので
 |k1|=|k2|=|k|  (4)
とおけます。すると△kは(絵を書けばよく分かる)
 △k=2ksinθ  (5)
となります。波数ベクトルkはs方向を向いていますね。(3)より
 2ksinθ=s  (6)
両辺にベクトルdをかけると、(2)を使って  
 2kdsinθ=s・d=2πn  (7)
また、k=2π/λ であるから(7)は
 2(2π/λ)dsinθ=2πn
これから
 2dsinθ=nλ (8)
でいいと思いますが。

>散乱される波数ベクトルをs 、基本ベクトルをa とする
>とラウエ条件は
>(1) s・a = 2πn n∈整数
この(1)式は逆格子ベクトルと結晶の位置ベクトルの関係式を表していますね。つまり、sを「逆格子ベクトル」とし、dを結晶の位置ベクトルとすると
 s・d=2πn  (2)
が成り立ちます。
ラウエ条件は入射波の波数ベクトルをk1、反射波の波数ベクトルをk2、逆格子空間の原点から〈hkl)なる逆格子点に至るベクトルをs(hkl)とすると
  s(hkl)=△k  (3)
で表されます。ここでs(hkl)は
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Qブリュアンゾーンの物理的な意味

 ブリュアンゾーンは、逆格子空間のウィグナーサイツセルとして定義されますが、物理的にはどんな意味があるのでしょうか。いまいち具体的なイメージがわきません。キッテルを使って勉強しているのですが、回りくどくてよくわかりません。
 さらに、フォノンの波数ベクトルが-π<Ka<-πに限定されると、なぜそこがブリュアンゾーンに対応しているのでしょうか。
 数式はキッテルに載っているので、できるだけ物理的な意味やイメージをお教えいただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形結合をとることにより、一般の逆格子ベクトルGが得られますが、ゼロベクトルを別とすれば、逆格子ベクトルGの中で大きさが最も小さいのは、b1,b2含めて全部で4つですよね。この4つのベクトルを原点から書いてみて下さい。
で、結論から言いますと、これらのベクトルの垂直二等分線で囲まれた領域(四角形)がブリユアンゾーンとなるわけですが、それは何故かを考えます。
いま、
(1)このような四角形を逆格子ベクトルだけ移動させて張り合わせていくと、全平面を埋め尽くすことができますよね。また、
(2)四角形の内側の点から逆格子ベクトルだけ離れた点はすべて四角形の外側にあることになります。(つまり、ブロッホ波の波数kの周期的な任意性による重複がこの四角形の中にないってこと。)
ブロッホ波の波数kの任意性の周期は基本逆格子ベクトルですから・・・・もうこの四角形の内部の点だけを考慮すればいいことになりますよね!だから、こうやって定義された四角形はブリユアンゾーンとなるわけです。

この考え方が他の構造にも適用できます。

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形...続きを読む

Q導体球殻の電位

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方法に自信がありません。

(3)の時、

V=-∫(∞→r)E・dr = (q/4πε_0)・(1/r)

(2)の時、
V=-∫(∞→b)E・dr -∫(b→r)0・dr = (q/4πε_0)・(1/b)

(1)の時、

V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

(1)の答えが解答では(q/4πε_0)(1/r)
ではなく
(q/4πε_0)((1/b)+(1/r)-(1/a))
となっていました。

なぜなのでしょうか。

ご教授お願い申し上げます。

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方...続きを読む

Aベストアンサー

考え方も計算も、ほぼオッケーですよ。
(1)のときの電位ですが
V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

真ん中の(b→a)の積分のときは、上で書かれているように E=0 なので
積分も0です。
ですから
V=(q/4πε0)( (1/b) - (1/∞) + (1/r) - (1/a) )
になりますね。


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