二階定数係数線型微分方程式を求めるやり方について

表題についてuがu``+au`+bu=0を満たすとき、pを0でない定数としてv(t)=e＾(pt)u(t)が満たす二階定数係数線型微分方程式を求めよ。
という問題なのですが、求め方がわかりません。
本日テストなので申し訳ありませんが、解き方、回答をお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/20 13:34

v(x) = u(x)・e^(px) なら、

v' = u'・e^(px) + u・pe^(px),
v'' = { u''・e^(px) + u'・pe^(px) } + { u'・pe^(px) + u・ppe^(px) }.
「積の微分法則」というやつです。
高校で、微積分の最初のほうに習いますね。

y = px と置くと
(d/dx) e^(px) = (d/dx) e^y = (dy/dx)・(d/dy) e^y = p・e^y = pe^(px)
も、大丈夫でしょうか？
「合成関数の微分法則」です。

冒頭の式を、u, u', u'' の連立一次方程式と見て、解くと、
u = v/e^(px),
u' = v'/e^(px) - pu = (v' - pv)/e^(px),
u'' = v''/e - (2pu' + p^2 u) = (v'' - 2pv' + p^2 v)/e^(px).

これを u'' + au' + bu = 0 へ代入して、
0 = u'' + au' + bu
= (v'' - 2pv' + p^2 v)/e^(px) + a (v' - pv)/e^(px) + b v/e^(px)
= { v'' + (-2p + a)v' + (p^2 - ap + b)v }/e^(px).

分母を払って、
v'' + (-2p + a)v' + (p^2 - ap + b)v = 0
です。

面倒臭がらずに、チマチマ計算するだけですよ。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2013/07/20 10:20

> e＾(pt)u(t)

ってのが(e^(pt))u(t) なのかe^(pt u(t)) なのかはっきりしないし、そもそも「二階定数係数線型微分方程式を求めるやり方」なんてへんてこなものがあるわきゃないでしょ…という文句はさておき。

要するに、v, v', v''を含みu, u', u''を含まない式をひとつ作ればいいだけです。v'とv''を計算すると、式が全部で5本になる。あとは中学校の連立方程式と全く同じこと。式同士を組み合わせて指数関数の部分（(e^(pt))u(t) だかe^(pt u(t))だか）を消去し、さらにu, u', u''を消去する。