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標準正規分布N(0,1^2)の確立密度関数をf(t)とする。すなわち、f(t)=1/√2π・exp(-t^2/2)とする。f(t)について、∫ t・f(t)dt=0
と∫ t^2・f(t)dt=1が成り立つ。

(どちらとも∫のー∞から+の無限大まで)

このとき
(1)確率変数Zは標準正規分布N(0、1^2)に従っているとする。この時、
E(Z)=0、 V(Z)=0を示せ。

(2)確率変数Xは正規分布N(m、σ^2)に従っているとする。このとき、E(X)=m、 V(X)=σ^2を示せ。

この問題がわかりません。どなたかよろしくお願いします。本当にお願いします

A 回答 (1件)

(1)


E(Z)=∫ t・f(t)dt  (期待値の定義式)
  =0           (問題文の情報)

V(Z)=E(Z^2)-{E(Z)}^2     (分散の基本公式)
  =∫ t^2・f(t)dt=1 (問題文の情報)

示すべきはV(Z)=0じゃなくて1ですよね

(2)
正規分布N(m、σ^2)の確率密度関数g(t)は
g(t)=1/(√2πσ)・exp{-(t-m)^2/(2σ^2)}  (正規分布の定義式)
Z=(X-m)/σ とおくと、     (標準化)
 (混乱を避けたかったら(1)で使っているZという文字を一旦使わない方がよいかもしれないけど、
  結果的にはこれが(1)に出てくるZ)
確率変数Zは1/√2π・exp(-t^2/2)=f(t)に従う
   (指数部を単純に置換して、dz=1/σ・dx な関係から)



E(aX + b)=a E(X) + b  (期待値の加法定理) を用いると
E(X)=E(σZ + m)  (標準化式の逆)
  =σE(Z) + m
  =m   ((1)で示したようにE(Z)=0だから)

V(aX + b)=a^2 V(X)    (分散の基本公式) を用いると
V(X)=V(σZ + m)  (標準化式の逆)
  =σ^2 V(Z)
  =σ^2  ((1)で示したようにV(Z)=1だから)
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