［行列］xy平面上において点(3,1)で

xy平面上において点(3,1)で直交している2直線l、l'があり、行列(2 p ; 0 -1)(2次正方行列)で表される1次変換fはlをl'に移す
pの値、及び直線lとl'の方程式を求めよ


解き方を教えてください

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2013/07/25 21:53

点(3,1)を通る直線lを

l:a(x-3)+b(y-1)=0
とおく。括弧を展開して
ax+by-(3a+b)=0 ...(1)
直線lと直交する直線l'は
l':b(x-3)-a(y-1)=0
とおける。l'の括弧を展開すると
bx-ay+(a-3b)=0 ...(2)

行列([2,p][0,-1])による1次変換fをすると
(1)上の点(x,y)が(X,Y)に移るとすると
X=2x+py, Y=-y ...(3)
これをx,yについて解くと
x=(X+pY)/2, y=-Y ...(4)
点(x,y)が直線l上の点だからx,yを(1)に代入して整理すると
(a/2)X-((ap/2)-b)Y-(3a+b)=0 ...(5)
移動後の点(X,Y)が直線l'上の点(x,y)に移ることから(5)のX,Yを
x,yで置き換えた直線の式
(a/2)x+((ap/2)-b)y-(3a+b)=0 ...(5')
と(2)の直線l'の式
bx-ay+(a-3b)=0 ...(2)
が同じ直線の式となることから係数の比が等しくなる。
(a/2)/b=(b-(ap/2))/a=(3a+b)/(3b-a) ...(6)
これをp,a/bについて解いて
p=1,a/b=-2　または　p=-1,a/b=-1 ...(7)

p=1のとき直線l,l'は(1),(2)から
l:y-2x+5=0, l':x+2y-5=0
陽関数で書けば
l:y=2x-5, l':y=-(1/2)x+(5/2)

p=-1のとき直線l,l'は(1),(2)から
l:y-x+2=0, l':x+y-4=0
陽関数で書けば
l:y=x-2, l':y=-x+4

と２組の答えが得られます。