数学的帰納法について質問です

a(1)=1,a(n+1)=√(2+a(n))の数列において、n=kの時にa(k+1)<a(k+2)を証明したいのですが,√(2+a(k))<√(2+a(k+1))であることをどう証明したらよいでしょうか？またこの数列は2に収束しますが、√(2+a(k))<2であることをどう証明したらよいでしょうか？

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2013/07/28 18:58

補足をお願いしたいな。

「1≦a(k)＜a(k+1)＜2 ならば　1≦a(k+1)＜a(k+2)＜2」ということを証明するだけの話だ、ということはお分かりなんでしょうか？

「1≦a(k+1)＜2 ならば　a(k+1)＜√(2+a(k+1))＜2」が言えるということはほとんど自明かと思うんですが、どこが分からんのでしょ？ x=a(k+1)と置き換えてみれば「1≦x＜2 ならば　x＜√(2+x)＜2」という簡単な不等式の問題です。

もしかして、「x＜√(2+x)＜2」の平方根を取り除けなくて躓いているとか？

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/07/26 09:07

単調増加を示す方法の一つとして、比を使う方法もありますね。

式でいえば、a(n+1)/a(n)≧ 1であることを示します。

2に収束することは、a(n)と 2との差がどうなるかを考えればよいです。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/07/25 23:52

関数 f(x) = √(2+x) が x に関し単調増加であることを示す.

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2013/07/25 23:44

解答としては順序が逆で

(1) a(n)<2 を示せ
(2) {a(n)}は単調増加であることを示せ

というのが楽

証明するには
(1) a(1)=1<2なのでOK
a(k)<2と仮定する
a(k+1)^2 = 2 + a(k) < 4
a(k+1)>0なので a(k+1)<2

これがわかれば
(2) a(n+1)^2-a(n)^2 = 2+a(n) -a(n)^2
= -(a(n)^2 - a(n) -2)
= -(a(n)-2)(a(n)+1) > 0 （(1)よりa(n)<2）